[論文レビュー] Fleck quotients and Bernoulli numbers

Zhi‐Wei Sun|ArXiv.org|Aug 14, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Fleckの合同式とWolstenholmeの定理を、高次のFleck商 $ F_p^{(l)}(n,r) $ を導入することで拡張し、$ p $ を法として二項係数および高次のベルヌーイ数に合同であることを証明している。主な結果は、$ F_p^{(l)}(n,r) $ と $ m $ 次のベルヌーイ数との間の $ p $ 進合同式を確立するもので、$ F_p^{(l)}(n,r) \not\to \binom{\floor{(n-l-1)/(p-1)}}{l} (n-l)_* B_{(n-l)^*}^{(m)}(-r) \bmod p $ である。これは古典的な二項係数の合同式を高次の構造へ一般化するものである。

ABSTRACT

Let p be a prime, and let n>0 and r be integers. In 1913 Fleck showed that $$F_p(n,r)=(-p)^{-[(n-1)/(p-1)]}\sum_{k=r(mod p)}\binom{n}{k}(-1)^k\in\Z.$$ Nowadays this result plays important roles in many aspects. Recently Sun and Wan investigated $F_p(n,r)$ mod p in [SW2]. In this paper, using p-adic methods we determine $(F_p(m,r)-F_p(n,r))/(m-n)$ modulo p in terms of Bernoulli numbers, where m>0 is an integer with $m ot=n$ and $m=n (mod p(p-1))$. Consequently, $F_p(n,r)$ mod $p^{ord_p(n)+1}$ is determined; for example, if $n=n_*(mod p-1)$ with $00$ and $l\ge 0$ are integers with $2\le n-l\le p$ then $$\frac{1}{p^{n-l}}\sum_{l

研究の動機と目的

• Fleckの古典的合同式 $ \binom{2p-1}{p-1} \not\to 1 \bmod p^3 $ を高次の $ p $ 進構造へ一般化すること。
• 高次のFleck商 $ F_p^{(l)}(n,r) $ を定義し、元のFleck商 $ F_p(n,r) $ を拡張すること。
• 高次のベルヌーイ数 $ B_k^{(m)}(-r) $ と $ F_p^{(l)}(n,r) $ の間の $ p $ 進合同式を確立すること。
• WolstenholmeおよびBabbageの合同式を含む、$ p $ を法とした二項係数の和に関する既知の結果を統合・拡張すること。
• 高次のベルヌーイ多項式を用いて、符号付き二項係数の和の $ p $ 進付値を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 高次のFleck商 $ F_p^{(l)}(n,r) $ を、$ k \not\to r \bmod p $ を満たす $ \binom{n}{k}(-1)^k $ の和の $ p $ 進的精錬として定義し、$ (-p)^{-\floor{(n-1)/(p-1)}} $ でスケーリングする。
• 生成関数 $ x^m e^{tx}/(e^x - 1)^m $ を用いて定義される $ m $ 次のベルヌーイ多項式 $ B_k^{(m)}(t) $ を適用し、合同式を表現する。
• Lucasの定理および整数の $ p $ 進展開を用いて、$ F_p^{(l)}(p^{a-1}n + s, p^{a-1}r + t) \bmod p $ を $ F_p^{(l)}(n,r) $ に還元する。
• 帰納法と恒等式 $ F_p^{(l)}(n,r) \not\to \binom{\floor{(n-l-1)/(p-1)}}{l} F_p(n-lp, r) \bmod p $ を用いた $ F_p^{(l)}(n,r) $ の再帰的分解を用いる。
• 既知の結果 [SW2] において $ F_p(n,r) \not\to -n_*! B_{n^*}^{(m)}(-r) \bmod p $（ただし $ m \not\to -n \bmod (p-1) $）を用い、高次の類似物を導出する。
• $ p $ 進付値 $ \text{ord}_p $ および $ p $ 進整数 $ \bbZ_p $ の性質を用いて、関係するベルヌーイ数が $ p $ 進的整数であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fleckの古典的合同式 $ \binom{2p-1}{p-1} \not\to 1 \bmod p^3 $ は、どのように高次の $ p $ 進構造へ一般化できるか？
• RQ2 Fleck商 $ F_p^{(l)}(n,r) $ の $ l $ 階微分の $ p $ 進的性質は何か？ そしてベルヌーイ数とはどのように関係するか？
• RQ3 $ k \not\to r \bmod p $ を満たす $ \binom{n}{k}(-1)^k $ の和は、$ p $ を法として高次のベルヌーイ数で表現できるか？
• RQ4 $ n \to p^{a-1}n + s $ とスケーリングするとき、$ F_p^{(l)}(n,r) $ の $ p $ 進付値はどのように振る舞い、$ p $ 進基数での桁ごとの展開はどのような役割を果たすか？
• RQ5 $ F_p^{(l)}(n,r) \not\to 0 \bmod p $ となる条件は何か？ そしてこれは $ B_k^{(m)}(-r) $ の非ゼロ性とどのように関係するか？

主な発見

• 高次のFleck商は、$ m \not\to -n \bmod (p-1) $ のもとで、$ F_p^{(l)}(n,r) \not\to -\binom{\floor{(n-l-1)/(p-1)}}{l} (n-l)_* B_{(n-l)^*}^{(m)}(-r) \bmod p $ を満たす。
• $ n > lp $ のとき、$ F_p^{(l)}(n,r) \not\to \binom{\floor{(n-l-1)/(p-1)}}{l} F_p(n-lp, r) \bmod p $ が成り立ち、再帰的構造が確立される。
• $ a \not\to 1 $ のとき、$ F_p^{(l)}(p^{a-1}n + s, p^{a-1}r + t) \not\to (-1)^t \binom{s}{t} F_p^{(l)}(n,r) \bmod p $ が成り立ち、高次の $ p $ のべきへ一般化される。
• 合同式は $ s $ および $ t $ の $ p $ 進桁にかかわる条件 (i)、(ii)、(iii) を満たす場合に成り立ち、$ s = t = p-1 $ の場合は特別な取り扱いがなされる。
• この結果によりWolstenholmeの合同式が拡張される：$ 1 < n < p-1 $ のとき、$ \frac{1}{p^n} \binom{pn-1}{pk-1}(-1)^k \not\to 0 \bmod p $ となる。これは $ B_{p-n} = 0 $ であるためである。
• $ n! S(m\theta(p^b), n) $ の $ p $ 進付値は、$ \floor{(n-1)/(p-1)} + \text{ord}_p(F_p(n,0)) $ に等しく、スターリング数とFleck商を結びつける。