[論文レビュー] Wilson's Theorem Modulo \(p^2\) Derived from Faulhaber Polynomials

Claire Levaillant|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Faulhaber多項式およびFaulhaber係数に関する最近の結果を用いて、$p^2$ を法とするWilsonの定理に関するGlaisherの公式の新しい$p$-進証明を提示する。この手法により、Sunの$(p-1)! \mod p^3$に関する結果が簡略化され、$p$のより高いべきへの一般化が可能になる。また、Stirling数$\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$の明示的公式が導かれる。さらに、分割されたベルヌーイ数の畳み込みに関する新しい合同式が得られる。

ABSTRACT

First, we present a new proof of Glaisher's formula dating from 1900 and concerning Wilson's theorem modulo p^2. Our proof uses p-adic numbers and Faulhaber's formula for the sums of powers (17th century), as well as more recent results on Faulhaber's coefficients obtained by Gessel and Viennot. Second, by using our method, we find a simpler proof than Sun's proof regarding a formula for (p-1)! modulo p^3, and one that can be generalized to higher powers of p. Third, we can derive from our method a way to compute the Stirling numbers modulo p^3, thus improving Glaisher and Sun's own results from 120 years ago and 20 years ago respectively. Last, our method allows to find new congruences on convolution of divided Bernoulli numbers and convolutions of divided Bernoulli numbers with Bernoulli numbers.

研究の動機と目的

• Faulhaber多項式および$p$-進解析を用いて、1900年にGlaisherが提示した$(p-1)! \mod p^2$に関する公式の新しい$p$-進証明を提供すること。
• 同じ手法を用いて、2000年にSunが提示した$(p-1)! \mod p^3$に関する証明を簡略化し、$p$のより高いべきへの一般化を可能にすること。
• 第一種スターリング数$\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$の明示的公式を導出することにより、GlaisherおよびSunの以前の結果を改善すること。
• 分割されたベルヌーイ数の畳み込みおよびベルヌーイ数との畳み込みに関する新しい合同式を確立すること。

提案手法

• 累乗和のFaulhaberの公式を用い、ベルヌーイ数に関連する係数を持つ$n$の多項式として表現する。
• $p$-進数論を用いて、$k=2,3,\dots$に対して$(p-1)!$の$p^k$を法とする構造を分析し、$p$-進展開を活用する。
• GesselおよびViennotによるFaulhaber係数に関する最近の結果を用い、累乗和と根の対称関数との関係を確立する。
• ニュートンの恒等式を用いて累乗和と初等対称和を結びつけ、それらが第一種スターリング数に対応することを示す。
• $\mathbb{F}_p[X]$における$X^{p-1} - 1$の因数分解と、$\mathbb{Z}_p[X]$における$X^{p-1} + (p-1)!$の類似性を用いて合同式を導出する。
• 多重調和和およびその$q$-類似の合同式を導出し、それらを$[p]_q^k$を法とする行列式および二項係数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Glaisherの$(p-1)! \mod p^2$に関する公式は、$p$-進手法およびFaulhaber多項式を用いて再導出可能か？
• RQ2 Sunの$(p-1)! \mod p^3$に関する公式に対して、より単純かつ一般化可能な証明は存在するか？
• RQ3 この手法を用いて、$\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$を明示的に計算可能か？
• RQ4 このアプローチを用いることで、分割されたベルヌーイ数の畳み込みに関する新しい合同式は得られるか？
• RQ5 これらの結果は、既知の二項係数および調和和の$q$-類似の合同式とどのように関係するか？

主な発見

• Faulhaber多項式および$p$-進解析を用いて、$(p-1)! \mod p^2$に関するGlaisherの公式の新しい$p$-進証明が確立された。
• この手法により、Sunの$(p-1)! \mod p^3$に関する結果の証明が、元の証明よりも簡略化され、$p$のより高いべきへの自然な一般化が可能になった。
• 本稿では、$\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$の明示的公式が導出され、GlaisherおよびSunの以前の評価を改善した。
• 分割されたベルヌーイ数の畳み込みに関する新しい合同式が得られ、ベルヌーイ数との畳み込みに対しても同様の結果が得られた。
• この手法は、調和和および二項係数の$q$-類似の合同式と関連し、Dilcher、Straubらの結果を拡張した。
• 本手法は、Faulhaber係数の$p$-進的性質およびその算術的意義を体系的に研究するフレームワークを提供する。