[論文レビュー] Floer Cohomology and Geometric Composition of Lagrangian Correspondences

Katrin Wehrheim, Chris Woodward|arXiv (Cornell University)|May 9, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正確かつ単調なシンプレクティックな設定におけるラグランジュ対応の幾何学的合成の下で、フロアー上同調群の同型を確立する。キルトフロアー上同調群と擬正則ストリップの解析を用いて、合成が埋め込まれている場合にラグランジュ対応の合成がフロアー上同調群を保存することを証明し、フロアー理論におけるシンプレクティズムの性質を一般化する。

ABSTRACT

We prove an isomorphism of Floer cohomologies under geometric composition of Lagrangian correspondences in exact and monotone settings.

研究の動機と目的

• ラグランジュ対応の幾何的合成の下で、フロアー上同調群の標準的同型を確立すること。
• フロアー上同調群のファンクター性をシンプレクティズムからより一般的なラグランジュ対応へ拡張すること。
• 高次元のコボルディズムにおけるキルトフロアー homology を通じたシンプレクティック位相的不変量の基礎的道具を提供すること。
• 単調性または正確性の条件下で、ラグランジュ対応の合成がフロアー上同調群の代数的構造を保存することを検証すること。
• フロアー上同調群が幾何的合成の下でどのように変化するか、特に埋め込みの場合に解明すること。

提案手法

• シンプレクティック多様体間のラグランジュ対応の巡回的系列に対するフロアー上同調群を定義するためにキルトフロアー上同調群を用いる。
• 積空間におけるラグランジュ対応に従う境界条件を有する擬正則ストリップの数え上げを適用する。
• フロアー上同調群が適切に定義されるように、ラグランジュ対の単調性または正確性の条件を課す。
• 積空間内のラグランジュ部分多様体の交点と合成対応における交点との間の標準的全単射を用いる。
• 重み付きソボレフノルムとカットオフ関数を用いて、擬正則ストリップの収束を解析し、エネルギーの集中を除外する。
• 一般化されたホーファー型補題を適用して、局所的収束の制御を行い、非ゼロの勾配ノルムから矛盾を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ対応の幾何的合成は、埋め込みの場合にフロアー上同調群を保存するか？
• RQ2 ラグランジュ対応の合成後にフロアー上同調群の同型が成立する条件は何か？
• RQ3 二つのラグランジュ対応が一つのものに合成されたとき、キルトフロアー上同調群はどのように振る舞うか？
• RQ4 単調性または正確性の下で、交点の標準的全単射がコホモロジー的同型を誘導できるか？
• RQ5 擬正則ストリップがエネルギー集中やバブル形成を示さないために必要な解析的条件は何か？

主な発見

• 積空間内のラグランジュ部分多様体のペアのフロアー上同調群と、合成されたラグランジュ対応の上同調群との間に同型が確立される。
• この同型は、環境となる積多様体内のラグランジュ対に単調性または正確性の仮定がある場合に成立する。
• 非自明な擬正則ディスクが同型を妨げるのを防ぐために、最小マスロフ指数が 2 であることが必要である。
• モジュライ空間におけるバブル形成を除外するために、重み付きソボレフノルムにおける一様な有界性とコンパクトネスの議論に依拠する。
• 擬正則ストリップの勾配の局所的収束が極限で消えることが示され、非ゼロのエネルギー集中の仮定と矛盾する。
• 交点間の標準的全単射は、チェーンレベルでの同型を誘導し、それがコホモロジー上で同型に引き上げられる。