[論文レビュー] Floer homology and Lagrangian concordance

Baptiste Chantraine, Georgios Dimitroglou Rizell+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正確なラグランジュ的充填をもつレジェンドリアン部分多様体間のラグランジュ的合同関係が、二重線形化されたレジェンドリアン接触コホモロジーに同型を誘導することを確立し、すべての次元で逆が存在しない合同関係の存在を証明している。さらに、タイトな接触三つ数球面におけるレジェンドリアンの輪の自分自身へのすべての正確なラグランジュ的合同関係が、レジェンドリアンのホモトピーの跡であると分類している。

ABSTRACT

We derive constraints on Lagrangian concordances from Legendrian submanifolds of the standard contact sphere admitting exact Lagrangian fillings. More precisely, we show that such a concordance induces an isomorphism on the level of bilinearised Legendrian contact cohomology. This is used to prove the existence of non-invertible exact Lagrangian concordances in all dimensions. In addition, using a result of Eliashberg-Polterovich, we completely classify exact Lagrangian concordances from the Legendrian unknot to itself in the tight contact-three sphere: every such concordance is the trace of a Legendrian isotopy. We also discuss a high dimensional topological result related to this classification.

研究の動機と目的

• 標準接触球面上のレジェンドリアン部分多様体間のラグランジュ的合同関係における剛性現象を理解すること。
• 負の端が正確なラグランジュ的充填をもつ場合、二重線形化されたレジェンドリアン接触コホモロジーを用いて合同関係に課される制約を導出すること。
• すべての次元で非可逆な正確なラグランジュ的合同関係の存在を証明すること。
• タイトな接触三つ数球面におけるレジェンドリアンの輪から自分自身へのすべての正確なラグランジュ的合同関係を完全に分類すること。
• スピン構成を用いた合同関係の分類に関連する高次元の位相的結果を確立すること。

提案手法

• 正確なラグランジュ的充填によって誘導される付加的構造を持つレジェンドリアン部分多様体の不変量としての二重線形化されたレジェンドリアン接触コホモロジーの使用。
• 定理1.1の適用、すなわち、正確な充填から誘導される付加的構造に関して、ラグランジュ的合同関係が二重線形化コホモロジーに同型を誘導することを示す。
• Künneth型の公式（定理2.11）を用いて、球面のコホモロジーとのテンソル積を通じて、スピンされたレジェンドリアン部分多様体のコホモロジーを計算すること。
• 既知の例（例えば、レジェンドリアン紐 $\Lambda_{m(9_{46})}$）を用いて $S^m$-スピン操作によりレジェンドリアン部分多様体を構成し、高次元の例を生成すること。
• 負の端がゆるい場合、正確なラグランジュ的コボルディズムにおける $h$-原理を用い、非ゆるい充填可能なレジェンドリアンに注目することを制限すること。
• Eliashberg-Polterovichの結果の適用により、三次元におけるレジェンドリアンの輪から自分自身への合同関係がすべてホモトピーの跡であると分類すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な充填をもつレジェンドリアン部分多様体間のラグランジュ的合同関係が非可逆である可能性はあるか？
• RQ2 二重線形化されたレジェンドリアン接触コホモロジーはラグランジュ的合同関係にどのような制約を課えるか？
• RQ3 $S^3$ 内のレジェンドリアンの輪から自分自身へのすべての正確なラグランジュ的合同関係は、レジェンドリアンのホモトピーの跡であるか？
• RQ4 スピンされたレジェンドリアン部分多様体の $S^m$-スピン構成における二重線形化コホモロジーの振る舞いはいかなるか？
• RQ5 高次元において、逆の合同関係の存在にどのような位相的障害が生じるか？

主な発見

• 正確な充填をもつレジェンドリアン部分多様体からのラグランジュ的合同関係は、そのような充填から誘導される付加的構造に関して、二重線形化されたレジェンドリアン接触コホモロジーに同型を誘導する。
• すべての次元で非可逆な正確なラグランジュ的合同関係が存在する。これは、逆の合同関係がコホモロジー的制約に反する例を構成することで示された。
• タイトな接触三つ数球面において、レジェンドリアンの輪から自分自身へのすべての正確なラグランジュ的合同関係は、レジェンドリアンのホモトピーの跡である。
• $\Lambda_{m(9_{46})}$ の $S^m$-スピンされたレジェンドリアン部分多様体 $\Sigma_{S^m}\Lambda$ は、スピンされた輪への合同関係をもつが、逆は成り立たない。これは $LCH^{-1}_{\varepsilon_0,\varepsilon_1}(\Sigma_{S^m}\Lambda) \neq 0$ であるためである。
• 任意の $m_1, \dots, m_k \in \mathbb{N}$ に対して、$S^1 \times S^{m_1} \times \cdots \times S^{m_k}$ と微分同相な充填可能なレジェンドリアン部分多様体 $\Lambda_1, \Lambda_2$ が存在し、$\Lambda_1$ から $\Lambda_2$ への合同関係は存在するが、逆は存在しない。
• 任意の付加的ペアに関して、レジェンドリアン $\Sigma_{S^m}\Lambda_{0}$ の二重線形化コホモロジーは負の次数で消えるが、これは源が非自明な負のコホモロジーを持つ場合、逆の合同関係の存在を妨げる。