[論文レビュー] Floer homology of Lagrangian submanifolds

Kenji Fukaya|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、福田、オウ、オオタ、オノが開発した、シンプレクティックトポロジーにおけるラグランジュ部分多様体のペアの不変量であるラグランジュフローリアンホモロジーについてサーベイする。スピンまたは相対スピン構造の下で理論を確立し、ハミルトニアンアイソトピーによる不変性や、$L_1 = L_2 = L$ のときの特異コホモロジーへの同型性といった重要な性質を証明する。さらに、超ポテンシャル $W$ および量子コホモロジーを通じて、ホモロジカルミラー双対性と結びつけ、$W$ の臨界値が行列因子化と導来カテゴリ－にどのように関連するかの予想を提示する。

ABSTRACT

This is a translation of an article appeared in Japanese in Suugaku 63 (2011), no. 1, 43-66 (MR2790665) and is a survey of Lagrangian Floer homology which the author studies jointly with Y.-G.Oh, H. Ohta, and K. Ono. It also contains some explanation on its relation to (homological) mirror symmetry.

研究の動機と目的

• ラグランジュフローリアンホモロジーの包括的サーベイを提供すること。これはシンプレクティックトポロジーにおける主要な不変量である。
• 一般の設定において障害を克服するために、スピンまたは相対スピン構造の下で理論を確立すること。
• フローリアンホモロジーとホモロジカルミラー双対性の関係を探索すること。特に、超ポテンシャル $W$ を通じての関係を重点的に検討する。
• 超ポテンシャル $W$ の臨界値が行列因子化および整合的層の導来カテゴリ－にどのように関連するかの予想を提示・検討すること。
• 量子コホモロジーと $W$ の平坦構造の関係を通じて、シンプレクティック幾何学と複素幾何学を結びつけること。

提案手法

• ラグランジュ部分多様体間の経路の空間上で、擬全純曲線を用いて、モース型ホモロジーとしてフローリアンコホモロジー $HF(L_1, L_2)$ を構成する。
• $A_\frown$-構造および $A_\frown$-ファンクターを用いて、フローリアンコホモロジーを射とするラグランジュ部分多様体のカテゴリ $\mathcal{LAG}(X)$ を定義する。
• 境界がラグランジュ部分多様体にあるホロモーフィックドリルを用いて、超ポテンシャル $W: \hat{X} \to \Lambda_0$ を定義し、これと量子コホモロジーおよび第一チャーン類を結びつける。
• 境界をもつコホモロジー $b$ におけるポテンシャル関数 $\mathfrak{PO}(b)$ の概念を導入し、フローリアンコホモロジーが非自明であることを検出する。
• 正確なシンプレクティック多様体上の超ポテンシャル $W$ の消失サイクルから、方向付きの $A_\infty$-カテゴリ $\mathcal{LAG}(X,W)$ をシールドの構成を応用して構成する。
• $\mathcal{LAG}(X,W)$ の導来カテゴリが、ミラーのファノ多様体 $\hat{X}$ 上の整合的層の導来カテゴリに同型であると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のシンプレクティック多様体におけるラグランジュ部分多様体に対して、$\pi_2(X,L)=0$ の仮定を越えて、フローリアンコホモロジーを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 超ポテンシャル $W$ の臨界値と $HF((L,b),(L,b))$ の非自明性との間の正確な関係は何か？
• RQ3 $A_\infty$-カテゴリ $\mathcal{LAG}(X,W)$ の導来カテゴリは、ミラーのファノ多様体 $\hat{X}$ 上の整合的層の導来カテゴリに同定可能か？
• RQ4 ミラー双対性の文脈において、$X$ の量子コホモロジーと超ポテンシャル $W$ の平坦構造の関係は何か？
• RQ5 超ポテンシャル関数 $W$ が、境界をもつコホモロジー $b$ を持つラグランジュ部分多様体に対して、非自明なフローリアンコホモロジーの存在を検出するための条件は何か？

主な発見

• フローリアンコホモロジー $HF(L_1, L_2)$ は、$L_1$ および $L_2$ のハミルトニアンアイソトピーに対して不変であり、性質 (ii) を満たす。
• $L_1 = L_2 = L$ のとき、$HF(L,L)$ は特異コホモロジー $\bigoplus_{i=0}^n H^i(L)$ に同型であり、性質 (iii) を満たす。
• $L_1$ と $L_2$ が横断的に入り交わる場合、$HF(L_1, L_2)$ は高々 $\#(L_1 \cap L_2)$ 個の生成元によって生成され、性質 (iv) を満たす。
• スピンラグランジュ部分多様体 $L$ に対して、$HF((L,b),(L,b)) \neq 0$ を満たす境界をもつコホモロジー $b \in \mathcal{M}(L)$ が存在するならば、$\mathfrak{PO}(b)$ は $W$ の臨界値であることが示され、予想 10.1 を支持する。
• $A_\infty$-カテゴリ $\mathcal{LAG}(X,W)$ の導来カテゴリは、ミラーのファノ多様体 $\hat{X}$ 上の整合的層の導来カテゴリに同型であると予想され、予想 10.4 に従う。
• $\hat{X}$ 上で定義された超ポテンシャル $W$ は、フローリアン理論からのポテンシャル関数と一致し、その臨界値は $c_1(X)$ との量子カップ積の固有値に対応する。