[論文レビュー] Floer homology of Lagrangians in clean intersection

Felix Schmäschke|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、単調なシンプレクティック多様体内の滑らかに交わる閉じたラグランジュ部分多様体の対について、モース＝ボット型Floerホモロジー理論を構築する。作用フィルトレーションと相対的マスロフ指数から構成されるスペクトル系列を用いて、Z2上のFloerホモロジーを計算し、HF∗(L0, L1)に収束するスペクトル系列を確立する。この理論はシンプレクティックトポロジーにおける非可 displacing 性と双対性に関する結果に応用される。

ABSTRACT

We consider Floer homology associated to a pair of closed Lagrangian submanifolds that satisfy a monotonicty assumption. If the Lagrangians intersect cleanly we decribe two spectral sequences which help to compute their Floer homology. The spectral sequences are constructed using a Morse-Bott version of Floer homology. We give a full treatment of the theory including orientations.

研究の動機と目的

• 滑らかに交わるラグランジュ部分多様体の対について、単調なシンプレクティック多様体内にFloerホモロジー理論を構築すること。
• そのような対のFloerホモロジーを計算する2つのスペクトル系列（グローバル版とローカル版）を構成すること。
• 滑らかな交わりと相対的スピン構造の文脈における方向性の完全な取り扱いを提供すること。
• 完全なFloerホモロジーに収束するスペクトル系列と、Z2上の局所化されたバージョンに収束する別のスペクトル系列を確立すること。
• 交わりのトポロジーとマスロフ指数に基づいて、ラグランジュ部分多様体の非可 displacing 性と双対性に関する結果を導出すること。

提案手法

• パス空間 P(L0, L1) 上のハミルトニアン作用関数を用いて、モース＝ボット型Floerホモロジーを構築する。
• L0 ∩ L1 の連結成分 Cj のシンプレクティック面積 A(Cj) でインデックス付けされた作用フィルトレーションを導入する。
• 各成分 Cj に対してRobbin-Salamon指数 µ(Cj) を定義し、スペクトル系列における次数を割り当てる。
• 最初のページが Z2係数の成分 Cj のホモロジーで、µ(Cj) で次数づけられたローカルスペクトル系列 Eloc,∗∗ を定義する。
• グリューニング理論とCauchy-Riemann-Floer作用素のフレドホルム理論を用いて、正規性とコンパクトネスを保証する。
• 相対的スピン構造を用いて方向性を確立し、スペクトル系列がハミルトニアンアイソトピーに関して不変であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのラグランジュ部分多様体が横断的ではなく滑らかに交わる場合、Floerホモロジーはどのように計算できるか？
• RQ2 滑らかな交わりの状況において、作用フィルトレーションから生じるスペクトル系列は何か？ そして、それらは完全なFloerホモロジーとどのように関係するか？
• RQ3 滑らかに交わるラグランジュ部分多様体のFloerホモロジーが非自明となる条件は何か？ また、その場合に課される位相的制約は何か？
• RQ4 交わりの成分のマスロフ指数とシンプレクティック面積は、スペクトル系列の構造にどのように影響するか？
• RQ5 単調な設定下で、スペクトル系列の構造からどのような非可 displacing 性と双対性の結果を導出できるか？

主な発見

• ローカル化されたFloerホモロジー HFloc∗ に収束するスペクトル系列 Eloc,∗∗ が存在し、E1ページは各交わり成分 Cj のホモロジーの直和に同型であり、µ(Cj) で次数づけられる。
• 完全なFloerホモロジー HF∗(L0, L1) は、グローバルスペクトル系列 E∗∗ の E∞ ページの直和に同型である。
• グローバルスペクトル系列は E1∗∗ ≅ Z2[λ±1] ⊗ HFloc∗ を満たし、deg λ = −N であり、N ≥ 3 である単調性条件を反映している。
• L0 が L1 から非可 displacing であり、連結多様体 C に沿って滑らかに交わる場合、N ≤ dim C + 1 が成り立つ。
• 2N > dim C + 1 のとき、スペクトル系列で唯一非自明な可能性がある微分は ∂N であり、その結果、中央の次数範囲で Hk(C; Z2) ≅ Hk+N−1(C; Z2) の双対性同型が得られる。
• スペクトル系列の構造により、与えられた位相的制約のもとで、L0 が非可 displacing である限り、HF∗(L0, L1) が消えることが証明される。