[論文レビュー] Floer homology, symplectic and complex hyperbolicities

Anne-Laure Biolley|ArXiv.org|Apr 30, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿はフロアコホモロジーとシンプレクティック容量を用いてシンプレクティック双曲的性を定義し、擬正則曲線を通じてほぼ複素双曲的性と結びつける。非シンプレクティック双曲的性は擬正則曲線の存在を示し、これにより非複素双曲的性が示され、コンパチブルなほぼ複素構造の変形のもとでの非複素双曲的性の安定性が確立される。

ABSTRACT

On one side, from the properties of Floer cohomology, invariant associated to a symplectic manifold, we define and study a notion of symplectic hyperbolicity and a symplectic capacity measuring it. On the other side, the usual notions of complex hyperbolicity can be straightforwardly generalized to the case of almost-complex manifolds by using pseudo-holomorphic curves. That's why we study the links between these two notions of hyperbolicities when a manifold is provided with some compatible symplectic and almost-complex structures. We mainly explain how the non-symplectic hyperbolicity implies the existence of pseudo-holomorphic curves, and so the non-complex hyperbolicity. Thanks to this analysis, we could both better understand the Floer cohomology and get new results on almost-complex hyperbolicity. We notably prove results of stability for non-complex hyperbolicity under deformation of the almost-complex structure among the set of the almost-complex structures compatible with a fixed non-hyperbolic symplectic structure, thus generalizing Bangert theorem that gave this same result in the special case of the standard torus.

研究の動機と目的

• フロアコホモロジーとそれを測るシンプレクティック容量を用いてシンプレクティック双曲的性を定義・研究すること。
• 擬正則曲線を用いて、複素双曲的性の概念をほぼ複素多様体へ一般化すること。
• 擬正則曲線を介してシンプレクティック双曲的性とほぼ複素双曲的性の関係を確立すること。
• コンパチブルなほぼ複素構造の変形のもとでの非複素双曲的性の安定性を証明し、バンゲルトの定理を一般化すること。
• 容量の成長率を用いて、特にシュタイン多様体を含む開いたω-凸多様体へのシンプレクティック双曲的性の概念の拡張を行うこと。

提案手法

• コンパクトなシンプレクティック多様体で境界が接触型である場合、フロアコホモロジーから特異コホモロジーへの自然な写像の上への性質としてシンプレクティック双曲的性を定義する。
• シンプレクティック双曲的性を測るシンプレクティック容量を導入し、その容量が無限大であることと多様体がシンプレクティック双曲的であることとは同値である。
• 擬正則曲線をシンプレクティック性とほぼ複素双曲的性の橋渡しとして用い、グロモフの擬正則曲線理論を活用する。
• シュタイン多様体における容量の成長を分析し、それを用いてシンプレクティック双曲的性の定性的・定量的定義を導く。
• 容量の成長とべき関数（例：$ \tau(f_a, \rho) \leq C a^\alpha $）との比較推定を適用し、擬正則曲線の存在を導出する。
• ストークスの定理と曲率の上限（ヘッセ型または径方向曲率）を用いて面積の成長を制御し、面積対距離比を用いて非双曲的性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フロアコホモロジーと容量を用いて定義されたシンプレクティック双曲的性は、ほぼ複素双曲的性とどのように関係するか？
• RQ2 非シンプレクティック双曲的多様体において、擬正則曲線が存在するための条件は何か？
• RQ3 コンパチブルなほぼ複素構造の変形のもとで、非複素双曲的性は保存されるか？
• RQ4 シュタイン多様体におけるシンプレクティック容量の成長率は、シンプレクティック双曲的性とどのように関係するか？
• RQ5 径方向曲率またはヘッセ型曲率の上限は、擬正則曲線の存在と面積の成長にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 非シンプレクティック双曲的性は、境界上にリーブ軌道が存在することを示し、ウェインシュタイン予想を満たす。
• シンプレクティック容量が線形的成長を示す（$ \mu(M_a) \leq C a $）ならば、面積が$ \mu(M_{a+1}) $で有界で、$ f_a(\partial\mathbb{D}) \subset \{ \psi = C a \} $を満たす$ J $-擬正則曲線$ f_a: \mathbb{D} \to M_a $の列が存在する。
• ヘッセ型または径方向曲率の上限がある場合、$ f_a $の面積は$ \text{area}(f_a, g_0) = o(\tau(f_a, \omega_0)) $を満たし、これはほぼケーラー的意味での非双曲的性を示す。
• 積多様体$ M \times N $について、$ m_M = 2 $かつ$ m_N \geq 2 $ならば、$ 2 $は$ M \times N $の等周的値であり、径方向曲率は$ \text{curv}_{M\times N} \leq \max(\text{curv}_M, \text{curv}_N) $を満たす。
• もし$ \mu(M_a) \leq C a $かつ$ |dd^c_J \phi|_0 \leq A $ならば、$ \tau(f_a, \omega_0) \geq C' a $となり、$ \text{area}(f_a, g_0) = o(\tau(f_a, \omega_0)) $が得られ、非双曲的性が確認される。
• 面積が$ \leq C a^2 $で、$ \partial M_{c_0 a} $上に像をもつ$ J_a $-擬正則写像$ M_a = B_M(a) \times B_N(a) $の構成により、$ M \times N $上での$ J $-擬正則写像の列が得られ、積構造における非双曲的性の安定性が証明される。