[論文レビュー] Flows and invariance for elliptic operators

Tom Ter Elst, Derek W. Robinson+1 more|ArXiv.org|Mar 31, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ W^{1,∞} $係数をもつ発散型形式で記述される退化楕円型作用素 $ H $ が生成する非正規化半群に関して、$ L^2(\Omega) $-不変性の特徴づけを確立する。$ \Omega $ が局所リプシッツ境界をもつ、あるいは $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ が $ H $ のコアであるという弱い正則性条件のもとで、すべての $ t > 0 $ に対して $ S_t L^2(\Omega) \subseteq L^2(\Omega) $ が成り立つのは、作用素 $ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ が生成する流れに関して半群が不変であるとき、かつそのときに限る。

ABSTRACT

Let $S$ be the submarkovian semigroup on $L_2({\bf R}^d)$ generated by a self-adjoint, second-order, divergence-form, elliptic operator $H$ with $W^{1,\infty}$ coefficients $c_{kl}$. Further let $Ω$ be an open subset of ${\bf R}^d$. Under mild conditions we prove that $S$ leaves $L_2(Ω)$ invariant if, and only if, it is invariant under the flows generated by the vector fields $\sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l$ for all $k$.

研究の動機と目的

• 退化楕円型作用素 $ H $ が $ W^{1,\infty} $係数をもつとき、その生成する非正規化半群 $ S $ に対する $ L^2(\Omega) $-不変性を特徴づけること。
• 半群の不変性と、作用素 $ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ が生成する流れに関する $ L^2(\Omega) $-不変性との間の関係を確立すること。
• $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ が $ H $ のコアであるための十分条件を同定し、半群の不変性と流れの不変性の同値性を保証すること。
• 元の流れ族に加え、$ C_c^\infty $-滑らか関数 $ \psi $ が生成する流れに対しても特徴づけを拡張し、それらの同値性を示すこと。

提案手法

• 係数 $ c_{kl} \in W^{1,\infty}(\mathbb{R}^d) $ をもつ対称作用素 $ H_0 = -\sum_{k,l} \partial_k c_{kl} \partial_l $ のフレイドリッヒス拡張として自己共役作用素 $ H $ を定義し、$ H $ が非正規化半群 $ S $ を生成することを保証する。
• 各 $ k $ に対して $ Y_k = \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ と定める。$ Y_k $ の $ L^2 $-閉包が一意パラメータ単位群 $ T^{(k)} $ を生成し、これを「流れ」と呼ぶ。
• スペクトル理論と $ Y_k $ の反自己共役性を用いて、$ S $-不変性がすべての $ k $ に対して $ T^{(k)} $-不変性を意味することを証明する。
• すべての $ \psi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ に対して、$ \sum_{k,l} (\partial_k \psi) c_{kl} \partial_l $ が生成する流れ $ T^\psi $ に関する不変性と、$ T^{(k)} $-不変性との同値性を確立する。
• 分区関数の技法と切断関数による局所近似を用いて、係数が $ W^{2,\infty} $-正則、あるいは局所的に可逆かつ滑らかである場合に $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ が $ H $ のコアであることを示す。
• Dirichlet型形式の局所性と二次形式の閉包性を用いて、局所的および大域的作用素間での不変性性質を移行させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化楕円型作用素 $ H $ が生成する半群 $ S $ が $ L^2(\Omega) $ に不変であるための条件は何か？
• RQ2 $ S $ による $ L^2(\Omega) $-不変性は、$ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ が生成する流れによる不変性と同値か？
• RQ3 $ \Omega $ や係数 $ c_{kl} $ にどのような正則性条件を課すと、$ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ が $ H $ のコアとなるか？
• RQ4 $ C_c^\infty $-関数 $ \psi $ が生成する流れは、個々のベクトル場 $ Y_k $ が生成する流れとどのように関係するか？
• RQ5 $ S $ による $ L^2(\Omega) $-不変性は、滑らかな試験関数と関連する流れ族による不変性に還元可能か？

主な発見

• $ \Omega $ が開集合で局所リプシッツ境界をもつ、または $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ が $ H $ のコアであるという条件下で、半群 $ S $ が $ L^2(\Omega) $ を不変にするのは、$ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ が生成する流れ $ T^{(k)} $ が $ L^2(\Omega) $ を不変にするとき、かつそのときに限る。
• $ T^{(k)} $-不変性は、すべての $ \psi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ に対して $ \sum_{k,l} (\partial_k \psi) c_{kl} \partial_l $ が生成する流れ $ T^\psi $ に関する不変性と同値である。
• $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ が $ H $ のコアであるという条件は、$ c_{kl} \in W^{2,\infty}(\mathbb{R}^d) $ であるか、より一般に $ c_{kl} $ が局所的に $ W^{2,\infty} $ かつ係数行列が局所的に可逆である場合に成立する。
• 反例として、$ c(x) = |x|^{2\delta}(1+x^2)^{-\delta} $（$ \delta \in [1/2, 3/4) $）をもつ1次元作用素が提示され、$ c_{kl} $ が $ W^{1,\infty} $-正則であるだけでは $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ が $ H $ のコアであるとは限らないことが示されている。
• コア性質は、切断関数を用いた分区関数の技法と、$ H $ を $ H_1 $ と $ H_2 $ に局所的に拡張する手法により確立され、$ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ が $ D(H) $ で稠密であることが保証される。
• 証明は、Dirichlet型形式の局所性と、集合 $ U $ における $ H $-不変性が、関連する局所的作用素においても $ U $ で成立することを意味する事実に依拠しており、大域的近似が可能になる。