[論文レビュー] Forcing in Ramsey theory

Natasha Dobrinen|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、強制法とラムゼー理論の相互作用を検討し、特にハリントンによるハルペルン＝ラウヒリの定理の証明における強制法の技術が、木構造に対する新しいラムゼー定理を可能にし、それによって同型な関係的構造（ラド・グラフや$\kappa$-有理数）の有限の大ラムゼー次数を確立することを目的としている。主な貢献は、大基数仮定を用いてミリケンの定理およびラーヴァーの定理を非可算基数へ拡張することであり、最近の張氏およびドブリネン＝ハサウェイの結果により、最適な境界と一貫性の強度が得られている。

ABSTRACT

Ramsey theory and forcing have a symbiotic relationship. At the RIMS Symposium on Infinite Combinatorics and Forcing Theory in 2016, the author gave three tutorials on Ramsey theory in forcing. The first two tutorials concentrated on forcings which contain dense subsets forming topological Ramsey spaces. These forcings motivated the development of new Ramsey theory, which then was applied to the generic ultrafilters to obtain the precise structure Rudin-Keisler and Tukey orders below such ultrafilters. The content of the first two tutorials has appeared in an expository article submitted to the SEALS 2016 Proceedings. The third tutorial concentrated on uses of forcing to prove Ramsey theorems for trees which are applied to determine big Ramsey degrees of homogeneous relational structures. This is the focus of this paper.

研究の動機と目的

• 非可算基数の文脈において、木構造のラムゼー定理を証明する際の強制法の役割を調査すること。
• ラド・グラフや$\kappa$-有理数などの同型な関係的構造の有限の大ラムゼー次数を確立すること。
• 測度可能な基数および弱いコンパクト基数における一般化されたハルペルン＝ラウヒリの定理の正確な一貫性の強度を特定すること。
• 強制法および大基数仮定を用いて、ミリケンやラーヴァーの古典的なラムゼー結果を非可算設定へ拡張すること。

提案手法

• ハリントンによるハルペルン＝ラウヒリの定理の強制証明を基盤として、木構造に基づくラムゼー定理を構築すること。
• 強さのある部分木に関するミリケンの定理を適用し、ラド・グラフや有理数のような構造の有限の大ラムゼー次数を導出すること。
• コーエン部分集合を用いた強制拡張を用いて、測度可能性を保ちながら非可算基数におけるハルペルン＝ラウヒリの定理が成立することを保証すること。
• $(\kappa+d)$-強基数などの大基数仮定を強制法と組み合わせることで、ラムゼー定理の最適な一貫性の強度を達成すること。
• ハルペルン＝ラウヒリの定理の非対称的およびより強いバージョン（特にどこかに密集するバージョン）への拡張。
• 文献[7]および[28]の最近の強制技法を用いて、特定の大基数仮定の下で、$\kappa$-有理数の積における色の数が$(d+1)!$が最適であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度可能な基数$\kappa$における$d$本の木に対するハルペルン＝ラウヒリの定理の正確な一貫性の強度は何か？
• RQ2 測度可能な基数における$d$本の木に対するハルペルン＝ラウヒリの定理は、$(\kappa+d)$-強基数から証明可能か、それ以上の仮定が必要か？
• RQ3 ZFCにおいて、すべての強い無限大の基数$\kappa$について$2 \leq \delta < \kappa$の下でHL$(1,\delta,\kappa)$が成立するか？
• RQ4 張氏の定理29の結論は、より強い分割仮定ではなく$(\kappa+d)$-強基数から導けるか？
• RQ5 非可算基数における「どこかに密集する」ハルペルン＝ラウヒリの定理と標準的なバージョンとの関係は何か？

主な発見

• 測度可能な基数$\kappa$における$d$本の木に対するハルペルン＝ラウヒリの定理は、$\kappa$が測度可能性を保つ強制拡張で成立する。これは$(\kappa+d)$-強基数の仮定の下で成り立つ。
• 測度可能な基数$\kappa$におけるHL$(d,\sigma,\kappa)$の一貫性の強度は、強制法と大基数技術を組み合わせることで、$(\kappa+d)$-強基数で最適であることが示された。
• 張氏は、測度可能な基数$\kappa$で$\lambda \rightarrow (\kappa)^2_{2^\kappa}$が成り立つ場合、$\mathbb{Q}_\kappa$の$d$個のコピーの積は、$\kappa$未満の色数への任意の彩色において、最大$(d+1)!$色に制限されることを証明した。
• 張氏の結果における$(d+1)!$という境界は、[28]における明示的構成によって最適であることが示された。
• 弱いコンパクト基数における「どこかに密集する」ハルペルン＝ラウヒリの定理SDHL$(\delta,\sigma,\kappa)$は、標準的なHL$(\delta,\sigma,\kappa)$と同値である。
• $(\kappa+2d)$-強基数の下で、$\kappa^{+d}$個のコーエン部分集合を加えた後も$\kappa$が測度可能性を保つことは一貫的であり、非可算ラムゼー定理の一貫性を支持する。