[論文レビュー] Formalite $G_\infty$ adaptee et star-representations sur des sous-varietes coisotropes

Martin Bordemann, Rafael J. L. Morcillo+3 more|ArXiv.org|Apr 13, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コイソトロピック部分多様体に適合するスター積を、ポisson多様体上に構成し、部分多様体の消滅イデアルが変形された代数において左イデアルのままであることを保証する。これはタマリンの形式性定理をコイソトロピックな設定に一般化し、適合する多微分作用素の空間にG∞-構造を確立し、X=ℝⁿおよびC=ℝⁿ⁻ˡ（l≥2）の場合に障害が消えることを証明することで、C∞(C)[[h]]上の自然な表現の変形を可能にする。

ABSTRACT

Let X be a Poisson manifold and C a coisotropic submanifold and let I be the vanishing ideal of C. In this work we want to construct a star product * on X such that I[[lambda]] is a left ideal for *. Thus we obtain a representation of the star product algebra A[[lambda]] = C^\infty(X)[[lambda]] on B[[lambda]] = A[[lambda]] / I[[lambda]] deforming the usual representation of A on the functions on C. The result follows from a generalization of Tamarkin's formality adapted to the submanifold C. We show that in the case X = R^n and C = R^{n-l} with l > 1 there are no obstructions to this formality.

研究の動機と目的

• ポワソン多様体X上に、コイソトロピック部分多様体Cに適合するスター積を構成し、C上の関数の消滅イデアルが変形された代数において左イデアルのままであることを保証すること。
• 適したコチェーンおよび作用素を導入することで、タマリンの形式性定理をコイソトロピック部分多様体の設定に一般化すること。
• コイソトロピック部分多様体に適合する多微分作用素の空間にG∞-代数構造を確立すること。
• この文脈における形式性の障害が特定のコホモロジー群によって制御されることを証明し、X=ℝⁿ、C=ℝⁿ⁻ˡの場合にそれらが消えることを示すこと。
• コイソトロピック部分多様体上の関数のポワソン代数の自然な表現を、スター積代数上のモジュラスとしての変形として実現すること。

提案手法

• 部分多様体Cの消滅イデアル𝕀を用いて、Cに適合する多微分作用素の空間𝔾_Iおよびそのリー代数的同型𝔤_Iを定義する。
• 適した多ベクトル場の空間𝔤_Iと適した多微分作用素の空間𝔾_Iとの間で、ホッフシュライブ・コスタント・ローゼンバーグ型の同型を証明する。
• G∞-代数構造を𝔾_Iに構成し、高次ホモトピー作用素を含むゲルステンハーバー代数構造を拡張する。
• コイソトロピック条件および𝕀の構造を活用して、形式性の障害複体をハリソン型複体に還元する。
• 還元された障害複体のコホモロジーを計算し、モデルケースX=ℝⁿ、C=ℝⁿ⁻ˡ（l≥2）でそのコホモロジーが消えることを示す。
• 障害の消滅を用いて、形式性の準同型写像を構成し、A[[h]] = C∞(X,𝕂)[[h]]上に𝕀[[h]]の左イデアル構造を保つスター積を誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポワソン多様体X上に、関数の消滅イデアルが変形された代数において左イデアルのままであるスター積を構成できるか？
• RQ2 タマリンの形式性定理は、コイソトロピック部分多様体の設定にどのように一般化できるか？また、適した多微分作用素の空間にどのような構造が現れるか？
• RQ3 適した多微分作用素の空間に導入されたG∞-代数構造は、形式性および変形量子化のプロセスを制御するために果たす役割は何か？
• RQ4 このような形式性写像の構成における障害は非自明なものか？特定の幾何的設定でそれらを計算したり、消えることを示せるか？
• RQ5 C∞(X)のC∞(C)上の自然な作用は、C∞(C)[[h]]上でのスター積代数の表現への変形を許容するか？

主な発見

• コイソトロピック部分多様体に適合する多微分作用素の空間にG∞-代数構造が構成され、ゲルステンハーバー代数構造が拡張された。
• 形式性の障害複体がハリソン型複体に還元され、コホモロジー的解析が簡略化された。
• モデルケースX=ℝⁿおよびC=ℝⁿ⁻ˡ（l≥2）では、障害複体のコホモロジーが消えるため、形式性に障害がないことが示された。
• A[[h]] = C∞(X,𝕂)[[h]]上に、𝕀[[h]]の左イデアル構造を保つ explicitly なスター積が構成され、B[[h]] = C∞(C,𝕂)[[h]]上でのwell-definedな表現が保証された。
• スター積代数のB[[h]]上での結果の表現は、C∞(X)のC∞(C)上での古典的点付き作用を変形したものであり、量子モジュール構造を提供する。
• 本構成は、コンツェビッチの形式性および変形量子化をコイソトロピック部分多様体の状況に一般化し、モジュール構造を含む枠組みを拡張した。