[論文レビュー] Formula for the supremum distribution of a spectrally positive Lévy process

Zbigniew Michna|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、スペクトラル正のレヴィ過程の有限時間ホライズンにおける上界分布の正確な公式を、複合ポアソン過程による近似を用いて導出する。主な貢献は、有限変動および無限変動の両ケースに適用可能な、有限時間 ruin 確率 $Ψ(u,T) = \mathbb{P}(\sup_{t\leq T}(X(t) - ct) > u)$ の新しい解析的表現である。逆ガウス分布およびトメッド安定レヴィ過程に対して明示的な結果が得られる。

ABSTRACT

In this article we derive formula for probability $\Prob(\sup_{t\leq T} (X(t)-ct)>u)$ where $X=\{X(t)\}$ is a spectrally positive Lévy process and $c\in\RL$. As an example we investigate the inverse Gaussian Lévy process.

研究の動機と目的

• 有限時間ホライズンにおけるスペクトラル正のレヴィ過程の上界分布の正確な解析的公式を導出すること。
• ブラウン運動、複合ポアソン過程、ガンマ分布、安定分布を超える、上界分布に関する既知の結果を拡張すること。
• 複合ポアソン近似を用いて、有限変動および無限変動の両レヴィ過程に適用可能な統一的枠組みを提供すること。
• リスク理論およびファイナンスモデリングの文脈において、有限時間 ruin 確率 $\Psi(u,T)$ の明示的公式を提示すること。
• 逆ガウス分布およびトメッド安定レヴィ過程といった特定の過程に対して、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• スペクトラル正のレヴィ過程 $X(t)$ を、$\epsilon$ より大きなジャンプを持つ複合ポアソン過程 $N_\epsilon(t)$ で近似し、レヴィ＝イト分解を用いる。
• 近似過程 $N_\epsilon(t)$ に対して、古典的な複合ポアソン過程の ruin 公式（クラメールおよびシールの公式）を適用する。
• $\epsilon \downarrow 0$ の極限を取ることで、$\Psi(u,T)$ の正確な公式を導出し、有限変動および無限変動のケースを区別する。
• 過程 $X(s)$ の密度関数 $f(x,s)$ を用い、時間積分を実行することで、$\Psi(u,T)$ を $X(T)$ の周辺分布および畳み込み型積分で表現する。
• 強マルコフ性および連続性条件を適用し、上界の累積分布関数が連続であることを保証する。
• 逆ガウス分布およびトメッド安定レヴィ過程に対して手法を検証し、特性関数が既知であり、密度関数を数値的に計算可能であることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のスペクトラル正のレヴィ過程について、有限時間ホライズンにおける上界分布の正確な公式を導出可能か？
• RQ2 $\Psi(u,T)$ の公式は、有限変動および無限変動のレヴィ過程でどのように異なるか？
• RQ3 逆ガウスレヴィ過程の有限時間 ruin 確率は何か？ そして、閉形式で表現可能か？
• RQ4 密度関数が解析的に得られないトメッド安定レヴィ過程へ、この手法を拡張可能か？
• RQ5 $\sup_{t\leq T}(X(t) - ct)$ の累積分布関数が連続であるための条件は何か？

主な発見

• 有限変動の場合（$\int_0^1 x Q(dx) < \infty$）、$\Psi(u,T)$ の公式は $\mathbb{P}(X(T) - cT > u)$ に加え、$X(s)$ の密度関数および $X(T-s)$ の生存確率を含む時間積分補正項を持つ。
• 無限変動の場合（$\int_0^1 x Q(dx) = \infty$）、$\Psi(0,T) = 1$ であり、過程がほとんど確実にゼロを超えることを示し、$\Psi(u,T)$ は $X(T-s)$ の周辺分布の $(-\infty, 0)$ 上での積分で表現される。
• 逆ガウスレヴィ過程の場合、$\Psi(u,T)$ はベッセル関数および指数関数を含む明示的な積分表現が得られ、部分積分により計算可能である。
• レヴィ測度 $Q(dx) = \frac{A e^{-\lambda x}}{x^{\alpha+1}} \mathbf{1}_{\{x>0\}} dx$ を持つトメッド安定レヴィ過程では、特性関数が閉形式で与えられ、数値的逆変換により密度関数が計算可能であり、結果として $\Psi(u,T)$ を評価可能である。
• $\limsup_{t\downarrow 0} \frac{X(t)}{t^\kappa} > 0$ がほとんど確実に成り立つ $\kappa < 1$ の条件下で、$\sup_{t\leq T}(X(t) - ct)$ の累積分布関数は連続であり、上界分布に原子を持たない。
• 本手法は、さまざまなレヴィ過程の結果を統一し、ファイナンスおよびリスク理論で用いられる一般化ハイパーボリック分布やその他のサブオルダイザーに適用可能な一般枠組みを提供する。