[論文レビュー] Joint distribution of a spectrally negative Lévy process and its occupation time, with step option pricing in view

Hélène Guérin, Jean‐François Renaud|Archipelago (Université du Québec à Montréal)|Jun 12, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、スペクトラルに負の Lévy 迁移過程とその有界区間内での滞在時間の同時ラプラス変換を、スケール関数を用いて閉形式で表現する。主な貢献は、特に超指数分布型のジャンプを有するジャンプ・ドリフト過程に対して、ステップ・オプションの価格付けに有用な明示的で取り扱いやすい公式を提供することにある。

ABSTRACT

For a spectrally negative Lévy process $X$, we study the following distribution: $$ \mathbb{E}_x \left[ \mathrm{e}^{- q \int_0^t \mathbf{1}_{(a,b)} (X_s) \mathrm{d}s } ; X_t \in \mathrm{d}y ight], $$ where $-\infty \leq a < b < \infty$, and where $q,t>0$ and $x \in \mathbb{R}$. More precisely, we identify the Laplace transform with respect to $t$ of this measure in terms of the scale functions of the underlying process. Our results are then used to price step options and the particular case of an exponential spectrally negative Lévy jump-diffusion model is discussed.

研究の動機と目的

• スペクトラルに負の Lévy 迁移過程とその有界区間内での滞在時間の同時分布の時間に関するラプラス変換を導出すること。
• 基礎となる Lévy 迁移過程のスケール関数を用いて、同時分布の閉形式表現を提供すること。
• スペクトラルに負の Lévy 迁移過程によって駆動される金融モデルにおけるステップ・オプションの価格付けを可能にすること。
• 既存のフラクチュエーション恒等式を固定ホライズンの滞在時間分布へと拡張し、アークサイン則と金融応用を橋渡しすること。
• 実用的なオプション・プライシングを目的として、指数的スペクトラルに負の Lévy ジャンプ・ドリフト過程（超指数分布型ジャンプ）の特別なケースを分析すること。

提案手法

• スペクトラルに負の Lévy 迁移過程のスケール関数理論を用いて、過程とその滞在時間の同時分布を特徴づける。
• 確率的分解技術を適用し、スケール関数およびその変種を用いて、同時ラプラス変換を表現する。
• スケール関数を含むフリードホルム型積分方程式の解法により、滞在時間測度のラプラス変換を導出する。
• 有界変動性 Lévy 过程の列を用いた近似法を用いて、有界変動経路から無限変動経路への結果の拡張を行う。
• 滞在時間効果を組み込むために一般化されたスケール関数を導入し、補助関数 $ \mathcal{H}^{(p,q)} $ と $ \mathcal{W}^{(p,q)} $ を定義する。
• コンパクト区間上でほとんど確実な一様収束とラプラス変換の連続性を用いて、近似過程の収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトラルに負の Lévy 迁移過程とその有界区間内での滞在時間の同時分布を、閉形式でどのように特徴づけられるか？
• RQ2 一般のスペクトラルに負の Lévy 迁移過程に対して、固定時刻における過程の値を条件とした滞在時間測度のラプラス変換は何か？
• RQ3 フラクチュエーション理論における Lévy 迁移過程のスケール関数を、滞在時間ダイナミクスを組み込む形にどのように拡張できるか？
• RQ4 経路の変動性（有界 vs. 無限変動）が、同時分布およびそのラプラス変換に与える影響は何か？
• RQ5 導出された公式を、Lévy 迁移過程によって駆動される金融モデルにおけるステップ・オプションの価格付けにどのように応用できるか？

主な発見

• 同時分布のラプラス変換は、スケール関数 $ W^{(p)} $、$ W^{(p+q)} $、および補助関数 $ \mathcal{H}^{(p,q)} $、$ \mathcal{W}^{(p,q)} $ を用いて表現される。
• 有界変動プロセスの列による近似法により、有界変動経路および無限変動経路の両方に対して公式が有効である。
• 近似過程の収束により、無限変動の場合の最終的表現の有効性が保証される。
• 超指数分布型ジャンプを有するジャンプ・ドリフトモデルでは、スケール関数が明示的表現を有し、明示的なオプション・プライシング公式が得られる。
• 同時分布は、$ \mathcal{H}^{(p,q)} $、$ \mathcal{W}^{(p,q)} $、および $ W^{(p)} $ を含む項の混合として与えられ、係数はスケール関数およびその微分に依存する。
• 結果は、古典的アークサイン則およびフラクチュエーション恒等式を、固定ホライズン・滞在時間依存分布へと一般化する。