[論文レビュー] Forward and Backward Stochastic Differential Equations with normal constraint in law

Philippe Briand, Pierre Cardaliaguet+2 more|ArXiv.org|Mar 4, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Lionsの微分とSkorokhod型の反射を用いた平均場反射機構を通じて、解の法則に正規制約を課した前向きおよび後向き確率的微分方程式（SDE）の適切性を確立する。解の存在と一意性を証明し、Neumann（前向き）または障害（後向き）条件を伴うWasserstein空間上の関連するFokker-Planck型PDEを導出する。また、粒子系近似と収束解析を通じて結果の妥当性を検証する。

ABSTRACT

In this paper we investigate the well-posedness of backward or forward stochastic differential equations whose law is constrained to live in an a priori given (smooth enough) set and which is reflected along the corresponding ''normal'' vector. We also study the associated interacting particle system reflected in mean field and asymptotically described by such equations. The case of particles submitted to a common noise as well as the asymptotic system is studied in the forward case. Eventually, we connect the forward and backward stochastic differential equations with normal constraints in law with partial differential equations stated on the Wasserstein space and involving a Neumann condition in the forward case and an obstacle in the backward one.

研究の動機と目的

• 法則に一般な制約集合を課した多変数の場合への平均反射SDEの拡張。
• 法則に正規制約を課した前向きおよび後向きSDEの解の存在と一意性の確立。
• このような確率的系と、Neumann（前向き）または障害（後向き）条件を伴うWasserstein空間上の偏微分方程式（PDE）との関連の確立。
• 共通ノイズと法則制約を有する相互作用粒子系の平均場極限の分析。
• 粒子系近似が極限SDEに収束する厳密な収束解析の提供。

提案手法

• 制約関数 functional のLions微分によって駆動されるSkorokhod型の反射項を用いて、法則制約を有する前向きおよび後向きSDEを定式化する。
• 解の法則の時間発展を記述する、法則に正規反射を伴うWasserstein空間上の一般化されたFokker-Planck方程式を導入する。
• 制約関数 functional H(μ) の確率測度空間における微分を定義するために、Lionsの変分法を確率測度空間に応用する。
• 共通ノイズを有する粒子系近似を用いて平均場極限をモデル化し、適切な条件下で法則収束およびパスごとの収束を証明する。
• 摂動論法と一様事前推定を用いて、粒子系が極限SDEに収束することを証明する。
• 伊藤の公式および測度空間における確率解析を用いて、境界条件を伴うWasserstein空間上のPDEを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前向きSDEが法則制約を正規反射機構によって課す場合、多変数設定において一意解が存在するための条件は何か？
• RQ2 解の法則はどのように変化するのか？ また、Neumann型境界条件を伴うWasserstein空間上のPDEは、その力学をどのように記述するか？
• RQ3 共通ノイズと法則制約を有する平均場相互作用粒子系は、法則に正規制約を課した極限SDEに収束するか？
• RQ4 後向きSDEに法則制約を課した場合の決定的PDEの対応形は何か？ また、Wasserstein空間上の障害問題とどのように関連するか？
• RQ5 粒子系が極限SDEに収束する過程は、制約関数 functional の正則性および初期法則の正則性にどのように依存するか？

主な発見

• 本稿では、係数および制約関数 functional に対して適切な正則性と有界性仮定を課した下で、多変数設定において法則に正規制約を課した前向きおよび後向きSDEの解の存在と一意性を証明する。
• 前向きの場合、解の法則はLions微分によって駆動されるNeumann型条件を伴うWasserstein空間上のFokker-Planck型PDEを満たす。
• 後向きの場合、関連するPDEは障害型であり、制約関数 functional が障害を定義し、反射項は法則空間における法線微分に対応する。
• 粒子系近似は法則収束するが、追加の正則性仮定のもとでパスごとの収束も確立され、一様推定を用いて収束速度が導出される。
• 粒子系の収束は摂動論法とL^p空間における一様有界性を用いて証明され、反射項および制約関数 functional が分布収束およびL^p収束することを示す。
• 本稿では、Wasserstein空間上の極限PDEが適切に定義されており、解が法則空間におけるSkorokhod反射条件によって特徴づけられることを確立する。