[論文レビュー] Foundation of Quantum Optimal Transport and Applications

Kazuki Ikeda|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、古典的モンジュ＝カンタロヴィチ最適輸送理論の量子拡張を確立し、量子チャネル上のハミルトニアン関数の最小化として量子最適輸送を定式化する。この枠組みを量子ウォーク、オートマトン、繰り返し量子ゲームに適用し、量子のフォーク定理（folk theorem）を初めて証明する：誤りのない信号モニタリングのおかげで、効用損失を伴わずに持続可能な協力が可能となる。

ABSTRACT

Quantum optimal transportation seeks an operator which minimizes the total cost of transporting a quantum state to another state, under some constraints that should be satisfied during transportation. We formulate this issue by extending the Monge-Kantorovich problem, which is a classical optimal transportation theory, and present some applications. As examples, we address quantum walk, quantum automata and quantum games from a viewpoint of optimal transportation. Moreover we explicitly show the folk theorem of the prisoners' dilemma, which claims mutual cooperation can be an equilibrium of the repeated game. A series of examples would show generic and practical advantages of the abstract quantum optimal transportation theory.

研究の動機と目的

• 連続系で非可算な自由度を有する系を対象として、古典的最適輸送理論を量子領域へ拡張すること。
• モンジュ＝カンタロヴィチ問題を一般化する非摂動的、演算子に基づく量子輸送の定式化を構築すること。
• 量子ウォーク、オートマトン、繰り返し量子ゲームなどの量子情報処理にこの枠組みを適用すること。
• 古典的ゲームが不完全なモニタリングを持つ場合に協力的均衡を支持できないのに対し、量子ゲームが協力的均衡（例えばフォーク定理）を支持できることを示すこと。
• 量子最適輸送が誤りのない信号モニタリングを可能にし、古典的繰り返しゲームで一般的な効用損失を回避できることを示すこと。

提案手法

• 輸送コスト、質量保存則、目的分布の制約を含む古典的ハミルトニアンの基底状態問題として、量子最適輸送を定式化する。
• 連続変数形式を用い、輸送コスト、源分布および目的分布の制約、およびデルタ関数型の輸送計画を含むハミルトニアンを導入する。
• 量子ウォークおよびオートマトンへの適用では、輸送写像をヒルベルト空間上でのユニタリな時間発展演算子として特定する。
• 割引を考慮した時間発展型量子戦略を用いて繰り返し量子ゲームをモデル化し、報酬は最終測定状態との重なりで計算する。
• プレイヤーが測定による状態の崩壊を引き起こさずに、ユニタリ操作を用いて状態の進化を制御し、結果をモニタリングできる量子戦略空間を導入する。
• 報酬比較から導かれる割引率条件を用いて、(トリガー, トリガー)戦略が逸脱に対して安定であることを示し、均衡の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続変数および非可算自由度を有する系において、古典的モンジュ＝カンタロヴィチ最適輸送問題を量子領域に一般化できるか？
• RQ2 質量保存則および目的分布の制約を保つハミルトニアン形式による量子最適輸送の定式化はどのように可能か？
• RQ3 量子ウォークおよび量子オートマトンをヒルベルト空間上の輸送過程として、量子最適輸送枠組みでモデル化できるか？
• RQ4 不完全な個人的モニタリング下でも、繰り返し量子ゲームが協力的均衡を有するか。その場合、どのような条件下か？
• RQ5 繰り返しゲームにおける古典的フォーク定理の量子版は何か。誤りのない信号モニタリングのおかげで、古典的結果とはどのように異なるか？

主な発見

• 本稿は、初めての量子フォーク定理を証明する：繰り返し量子囚人のジレンマにおいて、誤りのない信号モニタリングがある限り、相互協力は均衡に達する。
• (トリガー, トリガー)戦略は、割引率δがδ ≥ Y / (rX + Y)を満たす場合にナッシュ均衡を形成し、逸脱のインcentiveがない。
• 量子ゲームは、測定による状態の崩壊や戦略の早期露呈を防ぐため、誤りのない状態モニタリングが可能であり、古典的繰り返しゲームで見られるような効用損失を回避する。
• 本フレームワークは、非摂動的かつ連続的な量子系における最適輸送を可能にし、量子場理論や将来の汎用量子コンピュータへの応用が期待される。
• 輸送計画q(x,y)が{0,1}に制限される場合、量子アニーリング形式を用いて量子ハードウェア上で離散最適化を実装可能となる。
• 本モデルは、最適輸送の視点から、量子ウォーク、量子オートマトン、量子ゲームの間の深い構造的関係を明らかにし、共通の形式的枠組みで統一する。