[論文レビュー] Four and a Half Axioms for Finite Dimensional Quantum Mechanics

Alexander Wilce|ArXiv.org|Dec 30, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 25被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、対称性、単一測定における古典性、および双粒子非信号相関に基づく、4.5個の公理を提案する。これらは、形式的実ジョルダン代数の構造まで、有限次元量子力学を一意に特徴付ける。公理は状態と測定の実順序付きヒルベルト空間表現を導き、最終的な最小化原理により状態錐の斉次性と自己双対性が強制され、有限次元における標準的量子形式主義が得られる。

ABSTRACT

I discuss a set of strong, but probabilistically intelligible, axioms from which one can {\em almost} derive the appratus of finite dimensional quantum theory. Stated informally, these require that systems appear completely classical as restricted to a single measurement, that different measurements, and likewise different pure states, be equivalent (up to the action of a compact group of symmetries), and that every state be the marginal of a bipartite non-signaling state perfectly correlating two measurements. This much yields a mathematical representation of measurements and states that is already very suggestive of quantum mechanics. In particular, in any theory satisfying these axioms, measurements can be represented by orthonormal subsets of, and states, by vectors in, an ordered real Hilbert space -- in the quantum case, the space of Hermitian operators, with its usual tracial inner product. One final postulate (a simple minimization principle, still in need of a clear interpretation) forces the positive cone of this space to be homogeneous and self-dual and hence, to be the the state space of a formally real Jordan algebra. From here, the route to the standard framework of finite-dimensional quantum mechanics is quite short.

研究の動機と目的

• 有限次元量子力学の数学的枠組みを、少数の操作的意味を持つ公理から導出すること。
• 物理的系の状態空間が斉次かつ自己双対となる条件を特定すること。これは量子理論の重要な性質である。
• 合成系および非信号相関の役割が、量子力学の再構築にどのように寄与するかを調査すること。
• 対称状態空間における標準的内積の操作的および情報論的意味を明確化すること。
• 本公理化とハリー、ロウ、ダリアーノらの既存の再構築との関係を調査すること。

提案手法

• 公理1は、各測定が完全に古典的であることを要請する。これは、系が単一の観測可能に制限されたとき、古典的確率空間として振る舞うことを意味する。
• 公理2は対称性を強制する。すべての基本的測定と純粋状態は、物理的対称性のコンact群の下で同等である。
• 公理3は、すべての状態が、測定のペアを完璧に相関付ける双粒子非信号状態の周辺状態として現れることを述べる。
• 公理4は、観測可能の空間が、測定が正規直交部分集合として表現され、状態がベクトルとして表現される有限次元順序付き実ヒルベルト空間を形成することを保証する。
• 公理5（「半分」の公理）は最小化原理であり、ヒルベルト空間の正の錐が斉次かつ自己双対であることを強制する。
• コエラー＝ヴィンバーグの定理を適用することで、斉次かつ自己双対な錐が形式的実ジョルダン代数に対応することが示され、有限次元における標準的量子形式主義が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元量子力学は、対称性、測定ごとの古典性、および合成系における非信号相関から再構築可能か？
• RQ2 状態空間上の標準的不変内積の操作的または情報論的意味は何か？
• RQ3 提案された公理は、ハリー、ロウ、ダリアーノの公理とどのように関係するか。特にテンソル積と局所トモグラフィーの観点から。
• RQ4 これらの公理を満たす系が、公理を保つ非信号テンソル積を許容する条件は何か？
• RQ5 対称性群の構造（例：コンパクトリー群）は、最小化仮説を追加的に排除または再解釈する手がかりを提供できるか？

主な発見

• 公理は、測定を正規直交部分集合として、状態をベクトルとして表現する実順序付きヒルベルト空間表現を導く。対称性はユニタリに作用する。
• 最終的な最小化仮説により、状態空間の正の錐が斉次かつ自己双対であることが強制され、ジョルダン代数構造への重要なステップが達成される。
• コエラー＝ヴィンバーグの定理により、有限次元における斉次かつ自己双対な錐は、形式的実ジョルダン代数に対応する。
• 量子ビットを含む合理的なテンソル積を許容する唯一の系は、C*-代数のジョルダン部分を持つジョルダン代数を持つものであり、これにより複素量子力学が得られる。
• 局所トモグラフィー条件により、スカラー体は複素数に固定され、標準的有限次元量子力学の導出が完了する。
• 本手法は、対称性、合成、操作的明確性に重点を置いた、自然な量子理論への道筋を提供する。例外的なオクタニオン系やスピン因子は、物理的代替案としての可能性を有する。