[論文レビュー] Four dimensional Abelian duality and SL(2,Z) action in three dimensional conformal field theory

Roberto Zucchini|ArXiv.org|Nov 17, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、U(1)全局対称性を有する3次元 conformal field theory (CFT)におけるSL(2,Z) duality作用の厳密なホログラフィック導出を提供し、Wittenの予想である、S-duality生成子が漸近的にAdSに類似した多様体上の4次元アーベル双対性から生じることを確認する。ホロモジー3次元球面S³のような場合、電流相関関数のほぼガウス型生成関数に対するホログラフィックな公式を導出し、CFTにおけるSL(2,Z)作用が実際に4次元U(1)ゲージ理論双対性のホログラフィック像であることを証明する。

ABSTRACT

Recently, Witten showed that there is a natural action of the group SL(2,Z) on the space of 3 dimensional conformal field theories with U(1) global symmetry and a chosen coupling of the symmetry current to a background gauge field on a 3-fold N. He further argued that, for a class of conformal field theories, in the nearly Gaussian limit, this SL(2,Z) action may be viewed as a holographic image of the well-known SL(2,Z) Abelian duality of a pure U(1) gauge theory on AdS-like 4-folds M bounded by N, as dictated by the AdS/CFT correspondence. However, he showed that explicitly only for the generator T; for the generator S, instead, his analysis remained conjectural. In this paper, we propose a solution of this problem. We derive a general holographic formula for the nearly Gaussian generating functional of the correlators of the symmetry current and, using this, we show that Witten's conjecture is indeed correct when N=S^3. We further identify a class of homology 3-spheres N for which Witten's conjecture takes a particular simple form.

研究の動機と目的

• 3次元CFTにおけるS-duality生成子が4次元アーベル双対性から生じることを証明する、未解決の問題を解消すること。
• U(1)対称性を有する3次元CFTにおける電流相関関数のほぼガウス型生成関数に対する一般ホログラフィック公式を導出すること。
• 特定の3次元多様体、特にホロモジー3次元球面に対して、CFTにおけるSL(2,Z)作用が4次元U(1)ゲージ理論双対性のホログラフィック像であることを確立すること。
• 漸近的に双曲的エインシュタイン計量が所定の共形無限大を有するとき、ホログラフィック双対性の有効性を保証する条件を同定すること。

提案手法

• U(1)対称性を有するほぼガウス型3次元CFTにおける電流相関関数の生成関数 $\mathcal{Z}_T(a)$ に対するホログラフィック公式を導出する。
• CFTの生成関数と、3次元多様体 $N$ を境界とする漸近的にAdSに類似した4次元多様体 $M$ 上の4次元U(1)ゲージ理論の分配関数との関係を用いる。
• S-duality作用素 $\hat{S}$ の形式的経路積分表現を適用し、作用 $\frac{1}{2\pi}\int_N b \wedge da$ を持つ双対ゲージ場 $b$ における関数的積分を含む。
• ホログラフィック写像と整合性が示されることにより、S-duality変換 $\mathcal{Z}(a, \tau) \mapsto \mathcal{Z}(a, -1/\tau)$ が成立することを確立する。
• 境界 $\partial M = N$ 上の共形構造 $\gamma_\partial$ を所定のものとして持つ、$M$ 上の漸近的に双曲的エインシュタイン(AHE)計量の存在を、AHE計量から共形構造への自然写像 $\Pi_M$ の次数を用いて分析する。
• 線形化エインシュタイン作用素に対するインデックス理論とフレッドホルム理論を適用し、$\Pi_M$ の次数を定義し、$\deg \Pi_M \neq 0$ のときの全射性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(1)対称性を有する3次元CFTにおけるS-duality生成子は、4次元アーベル双対性のホログラフィック像として生じるか？
• RQ2 3次元CFTにおける電流相関関数のほぼガウス型生成関数に対する一般ホログラフィック公式を導出可能か？
• RQ3 どの3次元多様体 $N$ に対して、CFTにおけるSL(2,Z)作用が複素結合定数 $\tau$ における標準的モジュラー作用に還元されるか？
• RQ4 4次元多様体 $M$ にどのような位相的・幾何学的条件が課されると、$\partial M = N$ 上に所定の共形無限大を有するAHE計量の存在が保証されるか？
• RQ5 AHE計量から$\partial M$ 上の共形構造への写像 $\Pi_M$ の次数が、そのような計量の存在を保証する条件は何か？

主な発見

• S-duality生成子 $\hat{S}$ はCFT生成関数上で $\mathcal{Z}(a, \tau) \mapsto \mathcal{Z}(a, -1/\tau)$ のように作用し、$N = S^3$ に対してWittenの予想が確認された。
• ホロモジー3次元球面 $N$ に対して、CFTにおけるSL(2,Z)作用は、複素結合定数 $\tau = \tau_1 + i\tau_2$ におけるモジュラー作用と等価である。
• AHE計量から共形構造への写像 $\Pi_M$ の次数が非ゼロであれば、ホログラフィック双対性問題の解の存在が保証される。
• $\deg \Pi_M \neq 0$ は、コhomological列 $H^1(\partial M, \mathbb{R}) \to H^2(M, \partial M, \mathbb{R}) \to 0$ が正確であるとき成立し、$\Pi_M$ の全射性を保証する。
• $w_2(M) = 0$ かつ $\deg \Pi_M \neq 0$ を満たす単純な許容可能な対 $(\hat{M}, M)$ に対して、任意の $\hat{M}$ 上の共形構造に対してAHE計量が存在し、スピン構造は一意に拡張可能である。
• 特に $N = S^3$ の場合、CFTにおけるSL(2,Z)作用は、4次元アーベル双対性のホログラフィック像として完全に実現される。