[論文レビュー] Four families of orthogonal polynomials of C2 and symmetric and antisymmetric generalizations of sine and cosine functions

Lenka Motlochová, J. Patera|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2011

Mathematical functions and polynomials参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、対称および反対称な正弦および余弦関数の一般化から導かれる2変数の直交多項式の4つの族を紹介する。これらは、Lie群 $C_2$（$Sp(4)$ や $O(5)$ と同型）に関連している。三角関数の軌道関数を変数変換により多項式形式に変換することで、再帰関係、重み関数による直交性、三角関数的恒等式を確立し、既存のLie理論において役割を果たさないが、強力な構造的性質を有する2つの新しい関数族（$C^{-}$ および $S^{+}$）を同定した。

ABSTRACT

Four families of generalizations of trigonometric functions were recently introduced. In the paper the functions are transformed into four families of orthogonal polynomials depending on two variables. Recurrence relations for construction of the polynomials are presented. Orthogonality relations of the four families of polynomials are found together with the appropriate weight fuctions. Tables of the lowest degree polynomials are shown. Numerous trigonometric-like identities are found. Two of the four families of functions are identified as the functions encountered in the Weyl character formula for the finite dimensional irreducible representations of the compact Lie group Sp(4). The other two families of functions seem to play no role in Lie theory so far in spite of their analogous `good' properties.

研究の動機と目的

• 対称および反対称な三角関数の一般化から2変数の直交多項式の4つの族を構成すること。
• 任意の次数まで生成可能な多項式の再帰関係を確立すること。
• 各多項式族に対する直交関係および関連する重み関数を同定すること。
• 一般化された三角関数とコンパクトLie群 $Sp(4)$（$C_2$）の表現理論との間の新しい関係を明らかにすること。
• 既存の $C$-および $S$-関数と同様に望ましい性質（直交性、再帰性、境界挙動など）を有するが、これまでLie理論に登場しなかった2つの新しい関数族 $C^{-}$ および $S^{+}$ を同定すること。

提案手法

• 基本重み基底から直交基底への線形変数変換を用いて、正弦および余弦の対称および反対称一般化を多項式形式に変換する。
• 第4.2節から第4.5節において再帰関係を導出し、任意の所望の次数の多項式を再帰的に生成する。
• Lie群理論からのWeylキャラクターフォーミュラおよび離散化原理を用いて、多項式族の連続的および離散的直交性を確立する。
• 4つの関数族を $C_2$ Lie代数の軌道関数として同定し、$\cos^{+}$ および $\sin^{-}$ が既知の $C$-および $S$-関数に対応することを示す。
• 多項式族の4つすべてに対して、積から和への変換および和から積への変換を含む、三角関数に類似した恒等式を導出する。
• $C^{-}$ および $S^{+}$ 関数族は、従来のLie理論に登場しなかったが、標準的な $C$-および $S$-関数と同様に「良い」性質（直交性、再帰性、境界挙動など）を満たしていることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2変数における正弦および余弦関数の対称および反対称一般化を、どのように直交多項式に変換できるか？
• RQ2 得られた多項式族の再帰関係および直交性の性質は何か？
• RQ3 4つの関数族のうち、どの族が $Sp(4)$ のWeylキャラクターフォーミュラにおける既知の軌道関数に対応するか？
• RQ4 $C^{-}$ および $S^{+}$ 関数族は、標準的なLie理論に存在しないが、$C$-および $S$-関数と同様の構造的および直交性の性質を有するか？
• RQ5 軌道関数の離散化を多項式レベルにまで持ち込めるとすれば、調和解析および表現論への応用にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $\cos^{+}_{(\lambda,\mu)}$ および $\sin^{-}_{(\lambda,\mu)}$ 関数は、$C_2$ Lie代数のWeylキャラクターフォーミュラにおける $C$-および $S$-関数と正確に一致する。
• $\cos^{-}_{(\lambda,\mu)}$ および $\sin^{+}_{(\lambda,\mu)}$ 関数は、それぞれ新しい2つの族 $C^{-}$ および $S^{+}$ として同定され、基本領域の境界で「ハイブリッド」な対称性を示し、これまでLie理論で認識されていなかった。
• 4つの多項式族は、任意の所望の次数まで構成可能な再帰関係を満たしており、付録2に最低次の多項式の表が明示的に示されている。
• 4つの多項式族すべてに対して直交関係が確立され、それぞれに固有の重み関数が与えられ、$C_2$ ルート系に従う対称性の格子上での連続的および離散的直交性が可能である。
• 積から和への変換および和から積への変換を含む、三角関数に類似した恒等式が4つの族すべてに対して導出され、明示的な式（例：(65)～(68)）により代数的閉包性が示された。
• 同様の手法を用いて、任意のランク $n > 2$ への一般化が可能であり、また、キャラクターフォーム $\chi_{\omega_1}$ および $\chi_{\omega_2}$ を用いた代替変数選択も同様の多項式族を生成することが可能であり、特定の応用において利点を示す可能性がある。