[論文レビュー] Fourier-based quantum signal processing

Thais de Lima Silva, Lucas R. Borges+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、固定時間ユニタリ発展演算子 $e^{-iHt}$ を用いて、ヒルベルト空間の任意の有限フーリエ級数を、1つのアーキテクチャクビットのみを用いて実装する、新しいフーリエに基づく量子信号処理アルゴリズムを提示する。この手法により、行列逆行列化やハミルトニアン発展演算子の実装といった演算子関数の、後選別に基づく効率的実装が可能となり、qubitの過剰消費を抑え、量子化処理を必要とせず、スケーラビリティおよび実験的実装可能性において、従来のブロック符号化手法を凌駕する。

ABSTRACT

Implementing general functions of operators is a powerful tool in quantum computation. It can be used as the basis for a variety of quantum algorithms including matrix inversion, real and imaginary-time evolution, and matrix powers. Quantum signal processing is the state of the art for this aim, assuming that the operator to be transformed is given as a block of a unitary matrix acting on an enlarged Hilbert space. Here we present an algorithm for Hermitian-operator function design from an oracle given by the unitary evolution with respect to that operator at a fixed time. Our algorithm implements a Fourier approximation of the target function based on the iteration of a basic sequence of single-qubit gates, for which we prove the expressibility. In addition, we present an efficient classical algorithm for calculating its parameters from the Fourier series coefficients. Our algorithm uses only one qubit ancilla regardless the degree of the approximating series. This contrasts with previous proposals, which required an ancillary register of size growing with the expansion degree. Our methods are compatible with Trotterised Hamiltonian simulations schemes and hybrid digital-analog approaches.

研究の動機と目的

• ヒルベルト演算子の任意の有限フーリエ級数を実装するスケーラブルな量子信号処理手法の開発。
• 従来の対数的スケーリングから1つのアーキテクチャクビットへのアーキテクチャクビット要件の削減により、実験的実装可能性の向上。
• 従来のQSVTに基づく手法でコストがかかる量子化処理の必要性の排除。
• フーリエ係数から回転角を直接計算するための効率的な古典的アルゴリズムの提供。
• デジタルおよびハイブリッドデジタルアナログ量子プラットフォームにおける実用的実装の実現。

提案手法

• 固定で調整可能な時間 $t$ を持つユニタリ発展演算子 $e^{-iHt}$ を量子リソースとして用い、ブロック符号化の代わりに使用する。
• 1つのアーキテクチャクビットに連続して適用する単一クビット回転と、発展演算子呼び出しを交互に適用することで、SU(2)変換の行列要素として目的のフーリエ級数を実装する。
• 回転角は、コストの高い最適化を回避するため、フーリエ級数係数から導かれた効率的な古典的アルゴリズムにより計算される。
• 調整可能な位相シフト $\Lambda$ と時間 $t$ を用いて、$H$ の固有値スペクトルをフーリエ級数の収束区間にマッピングする。
• 任意の正規化された有限フーリエ級数が、このパルスシーケンスによって実装可能であることを形式的に証明し、先行研究のパリティ制限付き級数の一般化を達成する。
• アーキテクチャクビットの後選別により、全体のユニタリ行列のブロックとして、望ましい演算子関数 $f[H]$ が準備される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト演算子のフーリエ級数は、展開次数に依存せず、1つのアーキテクチャクビットのみで実装可能か？
• RQ2 パルスシーケンスの回転角は、フーリエ係数から解析的に計算可能か？これにより変動的最適化を回避できるか？
• RQ3 演算子 $H$ の固有値範囲を、フーリエ級数の収束区間にマッピングするにはどうすればよいか？これによりギブス現象を制御できるか？
• RQ4 最適なフーリエ近似を求めるための古典的サブルーチンの計算コストと精度はどの程度か？
• RQ5 本手法は、トロッターライズドハミルトニアンシミュレーションおよびハイブリッドデジタルアナログ量子アーキテクチャと互換性があるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、フーリエ級数の次数にかかわらず、1つのアーキテクチャクビットのみを要するため、リソース過剰消費が顕著に削減される。
• 効率的な古典的アルゴリズムにより、フーリエ係数から直接回転角が計算可能であり、パrameter最適化の必要性が排除される。
• 1クビットのパルスシーケンスにより、任意の正規化されたヒルベルト演算子の有限フーリエ級数の $\varepsilon$-ブロック符号化が達成される。
• $H$ の固有値範囲は、$t$ と $\Lambda$ を調整することで、フーリエ級数の収束区間にマッピング可能であり、近似誤差およびギブス現象の制御が可能になる。
• 2つの古典的サブルーチンがフーリエ近似のために提供される：1つは誤差境界を保証するが計算コストが高く、もう1つは漸近的収束性と高い後選別確率を有する。
• 本手法は、トロッターライズドハミルトニアンシミュレーションおよびハイブリッドデジタルアナログ量子アーキテクチャと互換性があり、実用的意義が向上する。