[論文レビュー] Fourier Integral Operators of Boutet de Monvel Type

Ubertino Battisti, Sandro Coriasco+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界を保存する1次同次的で、伝送条件を満たすファイバーに関して1次同次の同相写像に関連する、コンパクト多様体の境界を持つ場合のボーテ・ドゥ・モンヴェル型フーリエ積分作用素の新クラスを導入する。完全な計算体系を確立し、エゴロフ型定理を証明し、フレッドホルム性を示すための正則性を定義し、マスロフ bundle の切断からフレッドホルム作用素を構成する。さらに、dim Y > 2 またはマスロフ bundle が自明な場合、その作用素のインデックスが同相写像の不変量であることを示す。

ABSTRACT

Given two compact manifolds $X,Y,$ with boundary and a boundary preserving symplectomorphism $χ:T^*Y\setminus0 o T^*X\setminus0$, which is one-homogeneous in the fibers and satisfies the transmission condition, we introduce Fourier integral operators of Boutet de Monvel type associated with $χ$. We study their mapping properties between Sobolev spaces, develop a calculus and prove a Egorov type theorem. We also introduce a notion of ellipticity which implies the Fredholm property. Finally, we show how -- in the spirit of a classical construction by A. Weinstein -- a Fredholm operator of this type can be associated with $χ$ and a section of the Maslov bundle. If $\dim Y>2$ or the Maslov bundle is trivial, the index is independent of the section and thus an invariant of the symplectomorphism.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体の境界を持つ場合に、ボーテ・ドゥ・モンヴェルの擬微分作用素計算を一般化するフーリエ積分作用素の計算体系を構築すること。
• これらの作用素がソボレフ空間間で有効な写像性質を示すこと。
• フレッドホルム性を示す正則性の概念を定義すること。
• 境界を保存する同相写像とマスロフ bundle の切断から、フレッドホルム作用素を自然に構成すること。
• dim Y > 2 またはマスロフ bundle が自明な場合、その作用素のインデックスが同相写像の不変量であることを示すこと。

提案手法

• 作用素は、$ A^\rho $ を同相写像 $ \rho $ に関連する FIO として、$ r^+, e^+ $ を制限作用素およびゼロ拡張作用素とする、切り捨てられた FIO $ r^+ A^\rho e^+ $ の形で定義される。
• 位相関数を用いて $ \rho $ 及びその境界への持ち上げを表現する、$ S^m(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{R}^{n-1}; \mathscr{S}(\mathbb{R}_+), \mathscr{S}(\mathbb{R}_+)) $ に値をとる作用素値記号を用いた構成。
• $ \rho $ の各成分に伝送条件を課し、$ C^\infty(Y) $ から $ C^\infty(X) $、および $ C^\infty(X) $ から $ C^\infty(Y) $ への連続性を保証する。
• 作用素値擬微分作用素を用いた計算体系を構築し、記号の漸近展開により合成則を定める。
• エゴロフ型定理を証明し、FIO による作用素の共役が記号類に与える同相写像の作用を、主記号の不変性に結びつける。
• フレッドホルム性は正則性の概念により確立され、インデックスはマスロフ bundle の切断を通じて関連づけられ、指定された条件下で位相的不変性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイバーに関して1次同次的で、伝送条件を満たす境界付き多様体間の同相写像に対して、ボーテ・ドゥ・モンヴェル型フーリエ積分作用素の計算体系を構築できるか？
• RQ2 提案された作用素類は完全な計算体系（合成則、エゴロフ型定理など）を備えており、ソボレフ空間上での写像性質は何か？
• RQ3 これらの作用素に対して、フレッドホルム性を示す正則性の概念を定義できるか？
• RQ4 与えられた同相写像とマスロフ bundle の切断から、自然にフレッドホルム作用素を関連付ける方法は何か？
• RQ5 dim Y > 2 またはマスロフ bundle が自明な場合、そのフレッドホルム作用素のインデックスは切断の選び方に依存しないか？

主な発見

• 同相写像 $ \rho $ が伝送条件を満たす限り、切り捨てられた FIO $ r^+ A^\rho e^+ $ は $ C^\frown(Y) $ から $ C^\frown(X) $ への連続作用素である。
• $ r^+ A^\rho e^+ $ が $ S^m(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{R}^{n-1}; \mathscr{S}(\mathbb{R}_+), \mathscr{S}(\mathbb{R}_+)) $ に値をとる作用素値記号であることが示され、擬微分作用素の計算体系の適用が可能になる。
• 完全な計算体系が構築され、合成則や随伴作用素の公式が与えられ、記号の漸近展開は $ a(y,\eta) \sim \sum_\alpha \frac{1}{\alpha!} \partial_\eta^\alpha a_1(y,\eta) D^\alpha_y a_2(y,\eta) $ で与えられる。
• エゴロフ型定理が証明され、FIO による作用素の共役が、主記号を同相写像の作用に沿って保存することを示す。
• 正則性は主記号の可逆性に基づき定義され、これにより関連する作用素のフレッドホルム性が保証される。
• dim Y > 2 またはマスロフ bundle が自明な場合、構成されたフレッドホルム作用素のインデックスはマスロフ bundle の切断の選び方に依存せず、したがって同相写像 $ \rho $ の不変量として定義される。