[論文レビュー] Fourier series representations of the logarithms of the Euler gamma function and the Barnes multiple gamma functions

Donal F. Connon|ArXiv.org|Mar 25, 2009

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ひとこと要約

本稿は、オイラーのガンマ関数の対数関数のクラシカルなフーリエ級数であるクーメルの結果を、バーナーズ二重ガンマ関数および高階の多重ガンマ関数へと拡張する。解析的整数論とフーリエ解析を用いて、log Γ₂(z) の明示的なフーリエ級数表現を導出し、多重ガンマ関数へとその手法を一般化する。これにより、数論および数理物理学における特殊関数の研究に新たな道具が提供される。

ABSTRACT

Kummer's Fourier series for the log gamma function is well known, having been discovered in 1847. In this paper we develop a corresponding Fourier series for the logarithm of the Barnes double gamma function (and the method may be easily extended to higher order multiple gamma functions). Some applications of these Fourier series are explored.

研究の動機と目的

• クーメルの対数ガンマ関数のフーリエ級数を、高階の多重ガンマ関数へ一般化すること。
• バーナーズ二重ガンマ関数 Γ₂(z) の対数関数の明示的なフーリエ級数表現を導出すること。
• 二重の場合を超える高階の多重ガンマ関数へ適用可能な体系的な手法を確立すること。
• 導出されたフーリエ級数の解析的および整数論的応用を探索すること。
• 数理物理学およびゼータ関数論における特殊関数のさらなる研究の基盤を提供すること。

提案手法

• 積分表現とフーリエ展開技術を用いて、クーメルの元来の手法をバーナーズ二重ガンマ関数へ適応すること。
• ヒルベルトゼータ関数とバーナーズ多重ガンマ関数との関係を用いること。
• ポアソン和公式および周期性の性質を用いて、log Γ₂(z) のフーリエ係数を導出すること。
• 再帰的構造と一般化されたゼータ関数を用いて、n 階の多重ガンマ関数 Γₙ(z) へその手法を拡張すること。
• 解析接続と収束解析を適用して、複素平面上での級数の正当性を保証すること。
• バーナーズ関数の既知の特別値および関数等式を用いて、結果の妥当性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クーメルの log Γ(z) のフーリエ級数は、バーナーズ二重ガンマ関数へ一般化可能か？
• RQ2 log Γ₂(z) の明示的なフーリエ級数表現は何か？
• RQ3 二重ガンマ関数に対する手法は、高階の多重ガンマ関数へどのように拡張可能か？
• RQ4 導出されたフーリエ級数の収束性および定義域は何か？
• RQ5 これらの新しい級数表現には、整数論的または解析的応用があるか？

主な発見

• 本稿は、古典的対数ガンマ関数のクーメルの結果を一般化する log Γ₂(z) のフーリエ級数を導出する。
• log Γ₂(z) のフーリエ係数は、ヒルベルトゼータ関数 ζ(s, z) およびベルヌーイ多項式で表される。
• この手法は n 階の多重ガンマ関数 Γₙ(z) へも成功裏に拡張され、類似のフーリエ展開が得られる。
• 導出された級数は、極を除く複素平面上のコンパクト集合上で一様収束する。
• この表現は、多重ガンマ関数の特別値の評価や関数等式の研究に新たな道具を提供する。
• 結果は、既知の関数恒等式およびバーナーズ二重ガンマ関数の特別値と整合している。