[論文レビュー] FPT Inapproximability of Directed Cut and Connectivity Problems

Rajesh Chitnis, Andreas Emil Feldmann|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Gap-ETH などのより強い仮定の下でギャップを誘導する還元を構築することにより、DIRECTED MULTICUT、DSNPLANAR、SCSSPLANAR という重要な有向カットおよび接続性問題の、タイトな FPT 近似不可能性の境界を確立する。標準的なパrameterizationのもとで、k が小さい場合ですら、これらの問題に対して FPT 近似は存在しないことが示され、DIRECTED MULTICUT に対しては 2-近似が得られ、一方で (59/58 − ε)-近似は FPT 時間内に不可能であることが示され、既存のアルゴリズムと近似不可能性の結果の間のギャップが閉じられた。

ABSTRACT

(see paper for full abstract) Cut problems and connectivity problems on digraphs are two well-studied classes of problems from the viewpoint of parameterized complexity. After a series of papers over the last decade, we now have (almost) tight bounds for the running time of several standard variants of these problems parameterized by two parameters: the number $k$ of terminals and the size $p$ of the solution. When there is evidence of FPT intractability, then the next natural alternative is to consider FPT approximations. In this paper, we show two types of results for several directed cut and connectivity problems, building on existing results from the literature: first is to circumvent the hardness results for these problems by designing FPT approximation algorithms, or alternatively strengthen the existing hardness results by creating "gap-instances" under stronger hypotheses such as the (Gap-)Exponential Time Hypothesis (ETH).

研究の動機と目的

• 強いパrameterized 複雑性の仮定の下で、基本的な有向カットおよび接続性問題の FPT 近似可能性を解明すること。
• DIRECTED MULTICUT、DSNPLANAR、SCSSPLANAR に対して、既存の FPT 近似アルゴリズムと近似不可能性の結果の間のギャップを埋めること。
• Gap-ETH の下で、k が小さい（例えば k = 4）場合ですら、これらの問題に対して FPT 近似が存在しないことを示すこと。
• 解が最適な平面解のコストを超えないように制限する中間問題バージョン（DSNPLANAR および SCSSPLANAR）を導入すること。
• ギャップインスタンスを構築することで、DSNPLANAR に対して (2−ε)-近似が FPT 時間内で不可能であることを強化し、SCSSPLANAR に対しては (1+ε)-近似が部分指数的 FPT 時間内で不可能であることを示すこと。

提案手法

• 正確なエッジ重みの割り当てを伴うガジェットベースのグラフ構築を用いて、(ℓ,n)-GRID TILING から SCSSPLANAR へのパラメータ付き還元を構築する。
• 変数選択を符号化し、赤およびオранジ色のエッジを介してグリッド全体に一貫性を保証するための主要ガジェット、垂直二次ガジェット、水平二次ガジェットを設計する。
• コスト最小の解の解析を用いて、任意の最適解が正確に有効なグリッドタイリングのコストと一致することを証明し、解の構造と問題インスタンスの妥当性を結びつける。
• Gap-ETH 仮定を適用し、k = 4 であっても、DIRECTED MULTICUT に対して (59/58 − ε)-近似が f(p)·nO(1) 時間内に不可能であることを示す。
• ETH を用いて、任意の計算可能関数 f に対して、f(k,p,ε)·no(√(k+p+1/ε)) 時間内に SCSSPLANAR に対して (1+ε)-近似が不可能であることを示す。
• DIRECTED MULTICUT に対して、2O(p²)·nO(1) 時間で動作する 2-近似アルゴリズムを確立し、既知の最高の近似比と一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DIRECTED MULTICUT が解のサイズ p と端末ペア数 k でパラメータ化された場合、FPT 近似アルゴリズムは W[1]-hard であるという困難性を回避できるか？
• RQ2 DSNPLANAR に対して、Gap-ETH の下で k+p でパラメータ化された場合に (2−ε)-近似が FPT 時間内で可能か？（注：k+p でパラメータ化された場合、DSNPLANAR は W[1]-hard である。）
• RQ3 SCSSPLANAR は、k+p でパラメータ化された場合に W[1]-hard であるが、ETH の下で FPT 時間内で (1+ε)-近似が可能か？
• RQ4 DIRECTED MULTICUT に対して FPT 時間内で達成可能な最もタイトな近似比は何か？ 2 を超える改善は可能か？
• RQ5 Gap-ETH や ETH の下でギャップを誘導する還元を用いることで、DSNPLANAR や SCSSPLANAR に対して、従来の結果よりも強い近似不可能性の結果が得られるか？

主な発見

• DIRECTED MULTICUT は 2O(p²)·nO(1) 時間で k/2-近似が可能であり、k = 4 の場合に 2-近似が得られる。
• Gap-ETH の下で、k = 4 であっても、任意の計算可能関数 f に対して、f(p)·nO(1) 時間内に (59/58 − ε)-近似は不可能である。
• DSNPLANAR は、Gap-ETH の下で k でパラメータ化された FPT 時間内に (2−ε)-近似が不可能であり、Chitnis ら（ESA 2018）が提起した疑問に否定的であると回答する。
• DSNPLANAR は k + p でパラメータ化された場合に W[1]-hard であり、ETH の下で、任意の計算可能関数 f に対して、f(k,p,ε)·no(k+√p+1/ε) 時間内に (1+ε)-近似は不可能である。
• SCSSPLANAR は k + p でパラメータ化された場合に W[1]-hard であり、ETH の下で、任意の計算可能関数 f に対して、f(k,p,ε)·no(√(k+p+1/ε)) 時間内に (1+ε)-近似は不可能である。
• 本稿は、SCSSPLANAR および DSNPLANAR に対してタイトな FPT 近似不可能性の境界を確立し、標準的仮定の下で定数因子近似ですら FPT 時間内で不可能であることを示している。