[論文レビュー] Fractal Models for Normal Subgroups of Schottky Groups

Johannes Jaerisch|arXiv (Cornell University)|May 31, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、グラフ指向マルコフ系（GDMS）を用いて、シュットキー型クライン群の正規部分群の径方向極限集合を導入し、そのフラクタルモデルのハウスドルフ次元が、全自由群のそれと等しいことと、商群が可約であることは同値であることを確立している。ブロウズの結果を拡張し、非可約な商群は、厳密に大きな次元を与えることが示され、下界は全群の次元の半分を超える。

ABSTRACT

For a normal subgroup $N$ of the free group $\F_d$ with at least two generators we introduce the radial limit set $\Lr(N,Φ)$ of $N$ with respect to a graph directed Markov system $Φ$ associated to $\F_d$. These sets are shown to provide fractal models of radial limit sets of normal subgroups of Kleinian groups of Schottky type. Our main result states that if $Φ$ is symmetric and linear, then we have that $\dim_{H}(\Lr(N,Φ))=\dim_{H} \Lr(\F_d,Φ))$ if and only if the quotient group $\F_d /N$ is amenable, where $\dim_{H}$ denotes the Hausdorff dimension. This extends a result of Brooks for normal subgroups of Kleinian groups to a large class of fractal sets. Moreover, we show that if $\F_d /N$ is non-amenable then $\dim_{H}(\Lr(N,Φ))>\dim_{H}(\Lr(\F_d,Φ))/2$, which extends results by Falk and Stratmann and by Roblin.

研究の動機と目的

• シュットキー型クライン群の正規部分群の径方向極限集合のフラクタルモデルを構築すること。
• これらの極限集合のハウスドルフ次元を、特に商群の可約性という群論的性質の観点から特徴づけること。
• クライン群における収束指数と次元に関する古典的結果を、GDMSを介してより広いクラスのフラクタルモデルへと拡張すること。
• 極限集合の幾何的次元と商群 $\mathbb{F}_d/N$ の代数的構造の間の正確な対応関係を確立すること。

提案手法

• 本稿は、$d \geq 2$ 個の生成元を持つ自由群 $\mathbb{F}_d$ に関連する線形グラフ指向マルコフ系（GDMS） $\Phi$ を構成し、辺別に異なる収縮率を持つ相似変換を用いる。
• 符号的力学系としてのシフト空間 $\Sigma_\Phi$ 上での記述を用いて、正規部分群 $N \triangleleft \mathbb{F}_d$ に対して径方向極限集合 $\Lambda_r(N, \Phi)$ と一様径方向極限集合 $\Lambda_{ur}(N, \Phi)$ を定義する。
• 部分群 $H \leq \mathbb{F}_d$ に対して、縮小率の積を用いて、Poincar\'e級数 $P(H, \Phi, s)$ と収束指数 $\delta(H, \Phi)$ を定義する。
• 極限集合のハウスドルフ次元は、収束指数と関係づけられ、$\dim_H(\Lambda_{ur}(N, \Phi)) = \dim_H(\Lambda_r(N, \Phi)) = \delta(N, \Phi)$ が成り立つ。
• スペクトル半径が移動作用素のスペクトル半径と可約性を関係付けるために、ペロン＝フロベニウス作用素と群上の確率的ウォークの性質を用いる。
• シュットキー型クライン群 $G$ に付随する標準的GDMS $\Phi_G$ を用いて、$\Lambda_r(N, \Phi_G) = L_r(N)$ および $\Lambda_{ur}(N, \Phi_G) = L_{ur}(N)$ を示し、符号的力学系と幾何的極限集合との間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規部分群 $N$ の径方向極限集合のハウスドルフ次元が、全自由群のそれと等しくなるのはいつか？
• RQ2 商群 $\mathbb{F}_d/N$ の可約性は、$N$ の径方向極限集合の次元にどのように影響するか？
• RQ3 商群 $\mathbb{F}_d/N$ が非可約であるとき、$\Lambda_r(N, \Phi)$ のハウスドルフ次元の鋭い下界は何か？
• RQ4 正規部分群の径方向極限集合のフラクタル構造は、対称的線形GDMSを用いて正確にモデル化可能か？
• RQ5 部分群 $N$ のPoincar\'e級数と収束指数は、群 $\mathbb{F}_d/N$ の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 径方向極限集合 $\Lambda_r(N, \Phi)$ のハウスドルフ次元が、$\Lambda_r(\mathbb{F}_d, \Phi)$ のそれと等しいことは、商群 $\mathbb{F}_d/N$ が可約であることと同値である。
• 商群 $\mathbb{F}_d/N$ が非可約である場合、$\dim_H(\Lambda_r(N, \Phi)) > \dim_H(\Lambda_r(\mathbb{F}_d, \Phi))/2$ が成り立つ。
• 任意の非自明な正規部分群 $N$ に対して、収束指数は $\delta(N, \Phi) > \delta(\mathbb{F}_d, \Phi)/2$ を満たす。
• 収束指数 $\delta(N, \Phi)$ は、一様径方向極限集合および径方向極限集合の両方のハウスドルフ次元に等しい：$\dim_H(\Lambda_{ur}(N, \Phi)) = \dim_H(\Lambda_r(N, \Phi)) = \delta(N, \Phi)$。
• シュットキー型クライン群 $G$ の正規部分群 $N$ の径方向極限集合 $L_r(N)$ は、$G$ に付随する標準的GDMS $\Phi_G$ を用いて $\Lambda_r(N, \Phi_G)$ に一致する。
• 径方向極限集合 $L_{ur}(N)$ は、正確に $\Lambda_{ur}(N, \Phi_G)$ に一致し、符号的・幾何的対応関係が明確に確立される。