[論文レビュー] Fractal scaling and the aesthetics of trees

Jingyi Gao, Mitchell Newberry|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2024

Color perception and designPsychology被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、ダ・ヴィンチの木の法則と現代の動脈生物学に基づき、芸術作品における枝径のべき乗則フィッティングを用いてスケーリング指数（α）を定量化することで、木の芸術的美しさに関するフラクタルスケーリング理論を提唱する。16世紀のムスリム、江戸時代の日本、20世紀のヨーロッパの芸術において、α値は1.5から2.5の間であり、ピエ・モンドリアンの抽象的木は現代のスケーリング指数α=3を予見しており、芸術的表現と生物学的スケーリング原理との深い一致を示している。

ABSTRACT

Trees in works of art have stirred emotions in viewers for millennia. Leonardo da Vinci described geometric proportions in trees to provide both guidelines for painting and insights into tree form and function. Da Vinci's Rule of trees further implies fractal branching with a particular scaling exponent $α= 2$ governing both proportions between the diameters of adjoining boughs and the number of boughs of a given diameter. Contemporary biology increasingly supports an analogous rule with $α= 3$ known as Murray's Law. Here we relate trees in art to a theory of proportion inspired by both da Vinci and modern tree physiology. We measure $α$ in 16th century Islamic architecture, Edo period Japanese painting and 20th century European art, finding $α$ in the range 1.5 to 2.5. We find that both conformity and deviations from ideal branching create stylistic effect and accommodate constraints on design and implementation. Finally, we analyze an abstract tree by Piet Mondrian which forgoes explicit branching but accurately captures the modern scaling exponent $α= 3$, anticipating Murray's Law by 15 years. This perspective extends classical mathematical, biological and artistic ways to understand, recreate and appreciate the beauty of trees.

研究の動機と目的

• 芸術的木の表現が、現実の木の生理学に見られるフラクタルスケーリング原理を反映しているかどうかを調査すること。
• 文化や時代を超えて、芸術家たちがダ・ヴィンチの法則（α=2）やマーリーの法則（α=3）のような木の形態のスケーリング法則を無意識に従う、あるいはそれらを予見しているという仮説を検証すること。
• 枝径の分布とべき乗則フィッティングを用いて、芸術作品におけるフラクタルスケーリングを測定可能な方法として開発すること。
• 理想スケーリングからの逸脱が芸術的表現や設計制約に与える役割を評価すること。
• 抽象芸術、例えばモンドリアンの木の表現が、明示的な分岐を持たないにもかかわらず、生物学的に正確なスケーリング指数を保持している可能性を探ること。

提案手法

• Inkscapeを用いたSVGベクターグラフィックスを用いて、16世紀のムスリム、江戸時代の日本、20世紀のヨーロッパの芸術作品における枝径を手作業でアノテーションすること。
• 曲がりや葉の影響を避けるために、分岐点の下流に垂直線を引いて枝径を測定すること。
• Firefox Web Developer ConsoleでJavaScriptを用いて、SVGパス要素から枝長と径のデータを抽出すること。
• λ=2を用いた最尤法によるべき乗則フィッティングを適用し、ノイズや信頼性の低い小規模な測定値を除外するための閾値（xm）を用いてスケーリング指数αを推定すること。
• 視覚的および統計的チェックを用いて閾値選定を検証し、最大で信頼性の高い測定が可能な枝に最もよく適合するべき乗則モデルであることを保証すること。
• 3名の評価者による独立したスコアリング、特にモンドリアンの絵画については盲検の第三者評価者を含め、評価者間の一貫性と主観性を評価すること。

Figure 1: Trees in artwork—whether realistic or highly stylized—exhibit characteristic ratios between the sizes of branches that are both aesthetic and representational. Left: carved stone window screen of Sidi Saiyyed Mosque, Ahmedabad, Gujarat, India (1573 CE). Center: Cherry Blossoms , Matsumura

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる文化や歴史的時代における芸術的木の表現が、生物学的原則に整合するフラクタルスケーリングを示しているか？
• RQ2 理想スケーリング（例：α=2 または α=3）からの逸脱が、芸術的制約やスタイル的選択を反映している程度はどの程度か？
• RQ3 抽象的またはスタイル化された木の表現、例えばモンドリアンの作品のように、明示的な分岐がなくても生物学的に正確なスケーリング指数を保持していると見なせるか？
• RQ4 閾値（xm）の選択が、芸術的枝径データにおけるスケーリング指数の推定に与える影響はどの程度か？
• RQ5 視覚的および測定の主観性が、芸術作品におけるフラクタルスケーリングの推定にどの程度影響を及えるか？

主な発見

• 16世紀のムスリム建築（シディ・サイイド・モスク）におけるスケーリング指数αは1.5から2.5の間であり、生物学的原則に整合するフラクタルスケーリングを示している。
• 江戸時代の日本画（例：松村正信の桜）においても、同様の範囲のα値が観察され、芸術的表現がフラクタルスケーリングを遵守している可能性が示唆される。
• ガストーヴ・クリムトの『L’Arbre de Vie』は、フラクタル分岐と整合するα値を示しており、美的および生理的スケーリングの両方を反映している。
• ピエ・モンドリアンの抽象的木は、明示的な分岐がなくても、現代の生物学的スケーリング指数α=3を正確に捉えており、マーリーの法則から15年も前もってそれを予見している。
• 本研究のべき乗則フィッティング法（λ=2、経験的に選択された閾値xm）は、多様な芸術的スタイルにおける枝径分布を効果的にモデル化できた。
• 視覚的および統計的検証により、選択された閾値が自己同様でないノイズの多いデータ（例：樹皮、葉、影）を除外しており、モデルの信頼性が向上していることが確認された。

Figure 2: (a) da Vinci’s sketch of a tree (from Institut de France Manuscript M, p. 78v) shows that combined thickness is preserved at different stages of ramification. Sketch (b) shows that if $A$ and $B$ have the same combined thickness, $a$ and $b$ must have the same thickness as $c$ . This impli