[論文レビュー] Fractal Weyl law for the Ruelle spectrum of Anosov flows

Fréderic Faure, Masato Tsujii|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上のアノソフフローのルエールスペクトルに対してフラクタル・ウェーラー則を確立し、ルエール固有値の密度が $ O(\mathrm{Im}(z)^{\frac{n}{1+\beta_0}}) $ に至るまで増加することを示している。ここで $ n = \dim M - 1 $ であり、$ \beta_0 \in (0,1] $ は強い安定・不安定分布のホルダー指数である。波束変換と $ T^*M $ 上の力学的に重要な計量に適した非等方的ソボレフ空間を用いて、半古典的解析および逃げ関数技法を用いてスペクトル上界を導出する。

ABSTRACT

On a closed manifold $M$, we consider a smooth vector field $X$ that generates an Anosov flow. Let $V\in C^{\infty}\left(M;\mathbb{R} ight)$ be a smooth function called potential. It is known that for any $C>0$, there exists some anisotropic Sobolev space $\mathcal{H}_{C}$ such that the operator $A=-X+V$ has intrinsic discrete spectrum on $\mathrm{Re}\left(z ight)>-C$ called Ruelle resonances. In this paper, we show a fractal Weyl law: the density of resonances is bounded by $O\left(\left\langle ω ight angle ^{\frac{n}{1+β_{0}}} ight)$ where $ω=\mathrm{Im}\left(z ight)$, $n=\mathrm{dim}M-1$ and $0<β_{0}\leq1$ is the Hölder exponent of the distribution $E_{u}\oplus E_{s}$ (strong stable and unstable). We also obtain some more precise results concerning the wave front set of the resonances and the invertibility of the transfer operator. Since the dynamical distributions $E_{u}$,$E_{s}$ are non smooth, we use some semi-classical analysis based on wave packet transform associated to an adapted metric $g$ on $T^{*}M$ and construct some specific anisotropic Sobolev spaces.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上のアノソフフローのルエール固有値の漸近的分布を支配するフラクタル・ウェーラー則を確立すること。
• 標準的スペクトル手法を妨げる非滑らかな力学的分布 $ E_u \oplus E_s $ の課題に対処すること。
• フローの力学に適した波束変換と非等方的ソボレフ空間を用いた新しい半古典的枠組みを構築すること。
• ルエール固有関数の波フロント集合を特徴付け、移動作用素の可逆性を確立すること。
• スペクトルパラメータの虚部に従って固有値の密度の上界を証明し、スペクトル成長を捕獲集合のフラクタル次元と関連付けること。

提案手法

• シンプレクティック構造とアノソフ力学に適した計量 $ g $ を用いて、$ T^*M $ 上に非等方的ソボレフ空間 $ \mathcal{H}_C $ を構築する。
• 波束 $ \Phi_\rho $ を $ \rho \in T^*M $ でパラメータ化した波束変換 $ \mathcal{T} $ を定義し、$ C^\infty(M) $ から $ \mathcal{S}(T^*M) $ への写像とする。
• アノソフフロー $ \phi^t $ を $ T^*M $ 上のハミルトニアンフロー $ \tilde{\phi}^t $ に上に持ち上げ、捕獲集合 $ E_0^* $ を本質的スペクトル台として特定する。
• スペクトル漏れを制御するため、(1) 慣性的に変化が遅い、(2) フローに沿って減少する、(3) 階数制御が可能な逃げ関数 $ W $ を導入する。
• 擬微分作用素と不確定性原理を含む半古典的解析技法を適用し、離散スペクトルとウェーラー則を証明する。
• 波束による恒等分解を用いて、半古典的極限における移動作用素 $ \mathcal{L}^t $ 及びその生成子 $ A = -X + V $ を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アノソフフローにおける複素平面上のルエール固有値の数の漸近的成長率は何か？
• RQ2 不安定・安定分布のフラクタル次元はスペクトル密度にどのように影響するか？
• RQ3 非滑らかさを持つ $ E_u \oplus E_s $ に対しても、波束半古典的手法を用いてルエールスペクトルを厳密に特徴付けられるか？
• RQ4 ルエール固有関数の波フロント集合構造は何か？ そして力学とどのように関係するか？
• RQ5 半古典的設定において移動作用素 $ \mathcal{L}^t $ が可逆となる条件は何か？

主な発見

• 複素平面上のルエール固有値の密度は、$ \omega = \mathrm{Im}(z) $、$ n = \dim M - 1 $、$ \beta_0 \in (0,1] $ が $ E_u \oplus E_s $ のホルダー指数であるとき、$ O(\bra{\omega}^{\frac{n}{1+\beta_0}}) $ で上界が与えられる。
• ルエールスペクトルは $ \mathrm{Re}(z) > -C $ で本質的に離散的であり、波束変換と逃げ関数を用いて離散スペクトルが特徴付けられる。
• ルエール固有関数の波フロント集合は不安定分布 $ E_u $ に含まれており、その特異性は $ E_0^* $ というフロー不変集合に局所化されている。
• 移動作用素 $ \mathcal{L}^t $ は非等方的ソボレフ空間 $ \mathcal{H}_C $ 上で可逆であり、良好に定義されたスペクトル理論の存在を保証する。
• 逃げ関数 $ W $ はすべての要件を満たしている：慣性的に変化が遅く、フローに沿って減少し、階数が制御可能であり、スペクトル局在化を可能にする。
• 本手法は、波束変換と力学的に適した計量を用いた半古典的解析の新しい枠組みを確立し、ホルンダーアの擬微分作用素計算を超えて拡張する。