[論文レビュー] Fractional Differential Equations Involving Caputo Fractional Derivative with Mittag-Leffler Non-Singular Kernel: Comparison Principles and Applications

Mohammed Al-Refai|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ミットァグ・レフラー非特異核を有するカプート・分数階微分方程式における比較原理および解の存在条件を確立する。極値点における分数階微分の新たな推定式を導出し、線形および非線形方程式における一意性、ノルムの上限・下限、および下位・上位解の存在を証明した。これにより、ミットァグ・レフラー関数を用いた積分表現と比較技法を用いた解の厳密な解析が可能となる。

ABSTRACT

In this paper we study linear and nonlinear fractional differential equations involving the Caputo fractional derivative with Mittag-Leffler non-singular kernel of order $0

研究の動機と目的

• カプート微分とミットァグ・レフラー非特異核を有する線形分数階微分方程式における比較原理の開発。
• 線形分数階初期値問題における解の存在に必要なおよび十分な条件の導出。
• 非線形分数階微分方程式の解の唯一性およびノルムの上限の確立。
• 線形方程式との比較を用いて、解の下界および上界の提供。
• 指数関数的および非線形の源項を含む、理論的結果の適用性を示す例題の提示。

提案手法

• 部分積分およびミットァグ・レフラー関数の性質を用いて、関数の最大値および最小値点におけるカプート分数階微分の新たな推定式を導出。
• 導出された推定式を用いて、線形分数階方程式における比較原理を証明し、初期点で片方の解が他方を支配するならば、それが時間全域にわたり支配し続けることを保証。
• 比較原理を用いて、線形分数階方程式の解のノルムの上限を導出。核の符号およびミットァグ・レフラー関数の単調性を活用。
• ミットァグ・レフラー関数を含む一般化された積分作用素とべき関数との畳み込みを用いて、線形分数階方程式の閉形式解を構築。
• 平均値定理および比較技法を非線形方程式に適用し、非線形項にリプシッツ型条件が成立する場合の唯一性を確立。
• 右辺が定数係数線形の境界関数を用いて、非線形方程式の解の上界および下界を導出。微分作用素の符号および解の単調性に依存。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数の最大値または最小値点におけるミットァグ・レフラー核を有するカプート分数階微分の挙動はいかなるものか？
• RQ2 この微分作用素を有する線形分数階微分方程式が解を有するための条件は何か？
• RQ3 このような分数階方程式における比較原理をどのように確立し、解の順序付けおよび境界を推論できるか？
• RQ4 非線形分数階微分方程式の解の一意性を保証する条件は何か？
• RQ5 非線形分数階初期値問題の解に対して、上界および下界をどのように導出できるか？

主な発見

• 新たな推定式により、関数の初期点における値が最大値以下である場合、ミットァグ・レフラー核を有するカプート分数階微分が最大値点で非負であることが示された。
• 線形分数階方程式の解の存在に必要な条件が導出され、初期条件がミットァグ・レフラー関数および正規化関数 B(α) を含む特定の関係を満たす必要があることが示された。
• 比較原理が確立された：初期値において片方の解が他方を支配するならば、右辺が線形境界を満たす限り、その支配関係は時間的に維持される。
• 非線形項にリプシッツ条件が成立する場合、比較原理および微分作用素の符号解析を用いて、非線形分数階方程式の解の一意性が証明された。
• 定数係数線形方程式の解との比較を用いて、非線形方程式の解の下界および上界が導出され、ミットァグ・レフラー関数および畳み込み積分を用いた明示的な境界が得られた。
• 線形の場合、解のノルムは強制項のノルムによって上限づけられる。この上限はパラメータ α および B(α) に依存し、例題 4.2 で ||u|| ≤ 1 が示された。