[論文レビュー] Fractional Dynamical Systems on Fractional Leibniz Algebroids

Gheorghe Ivan, Mihai Ivan+1 more|ArXiv.org|Sep 15, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝リウヴィル微分を用いて接 bundle を分数階に一般化することで、分数階のライブニッツ代数的構造を定義し、分数階のアンカーと構造関数を用いて分数階ハミルトニアン系を導出する。主な貢献は、$(\alpha,\beta)$-分数階動的系の新規クラスの導入であり、ミタグ・レフラー関数およびガンマ関数を含む行列方程式を用いた具体的な分数階マクスウェル＝ブロッハ系の例が提示されている。

ABSTRACT

The theory of derivative of noninteger order goes back to Leibniz, Liouville and Riemann. Derivatives of fractional order have found many applications in recent studies in mechanics, physics, economics. In this paper we define the fractional tangent bundle on a manifold, using a method of Radu Miron. The fractional Leibniz algebroids are investigated. The associated objects have an geometric character. Some fractional dynamical systems on a fractional Leibniz algebroid are disscussed.

研究の動機と目的

• 古典的接 bundle の構成をリーマン＝リウヴィル分数階微分を用いて分数階に一般化すること。
• リーマン＝リウヴィル分数階微分への一般化を通じて、リークニッツ代数の概念を分数階微積分に拡張し、微分可能多様体上に分数階ライブニッツ代数的構造を定義すること。
• 分数階アンカーとハミルトニアン関数を用いて、これらの代数的構造上での分数階動的系を定式化すること。
• 特に、前リーマン型および対称代数的構造を含む特殊ケースを含め、動的系の明示的分数階微分方程式を導出すること。
• ガンマ関数およびミタグ・レフラー関数を含む行列形式の式を用いた具体的な分数階マクスウェル＝ブロッハ系の例を提示すること。

提案手法

• リーマン＝リウヴィル微分を用いて、分数階接触 $\alpha$ を用いた分数階接 bundle $T^\alpha(M)$ を定義し、局所座標 $(x^i, y^{i(\alpha)}) = (x^i(0), \frac{1}{\Gamma(1+\alpha)} D_t^\alpha x^i(t)|_{t=0})$ を用いる。
• 分数階外微分 $d^\alpha f = d(x^i)^\alpha D_{x^i}^\alpha f$ を導入し、分数階ヤコビ行列 $\overset{\alpha}{J}_j^i$ を含む変換則を提示する。
• 分数階アンカー写像 $\overset{\alpha}{\rho}_1, \overset{\alpha}{\rho}_2$、双線形括弧 $[\cdot, \cdot]_\alpha$、構造関数 $C_{ab}^d$ を用いて、分数階ライブニッツ代数的構造を定義する。
• ハミルトニアン $h$ と分数階微分 $D_t^\alpha, D_t^\beta$ を用いて、分数階動的系を構成し、方程式 $D_t^\beta \xi_a = C_{ab}^d \xi_d D_{\xi_a}^\beta h + \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{x^i}^\alpha h$ および $D_t^\alpha x^i = \pm \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{\xi_a}^\beta h$ を得る。
• 特定の例として、$3 \times 3$ の反対称テンソル $P^\beta$、分数階アンカー、ハミルトニアン $h = (x^2)^\alpha (\xi_2)^\beta + (x^3)^\alpha (\xi_3)^\beta$ を含む系について、ガンマ関数の恒等式を用いて行列形式の系を導出する。
• 導出にあたり、$D_{\xi_a}^\beta (\xi_b)^\gamma = \delta_b^a \xi_a^{\gamma - \beta} \frac{\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(1+\gamma - \beta)}$ および $D_{x^i}^\alpha (x^j)^\gamma = \delta_i^j (x^i)^{\gamma - \alpha} \frac{\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(1+\gamma - \alpha)}$ の性質を用いて、例における微分を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝リウヴィル微分を用いて、古典的接 bundle の構成をどのように分数階に一般化できるか。
• RQ2 分数階ライブニッツ代数的構造の構造は何か。また、これは古典的ライブニッツ代数的構造をどのように分数階微積分に拡張するか。
• RQ3 これらの代数的構造上での分数階動的系はどのように振る舞い、ハミルトニアン力学の支配方程式は何か。
• RQ4 $\alpha \to 1$ または $\beta \to 1$ の極限において、どのような状況にあり、古典的動的系とどのように関係するか。
• RQ5 この枠組みの特殊ケースとして、分数階マクスウェル＝ブロッハ系を導出できるか。また、その行列形式の式は何か。

主な発見

• 分数階ライブニッツ代数的構造上での分数階動的系は、ハミルトニアン $h$ と構造関数 $C_{ab}^d$ を含む、$D_t^\alpha$ と $D_t^\beta$ を含む2本の結合された分数階微分方程式によって支配される。
• 前リーマン型の場合（$C_{ab}^d = -C_{ba}^d$）、系は $D_t^\beta \xi_a = C_{ab}^d \xi_d D_{\xi_a}^\beta h + \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{x^i}^\alpha h$ および $D_t^\alpha x^i = -\overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{\xi_a}^\beta h$ の形を取る。
• 対称型の場合（$C_{ab}^d = C_{ba}^d$）、系は $D_t^\beta \xi_a = C_{ab}^d \xi_d D_{\xi_a}^\beta h + \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{x^i}^\alpha h$ および $D_t^\alpha x^i = \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{\xi_a}^\beta h$ の形を取る。
• 例では、分数階マクスウェル＝ブロッハ系が明示的な行列方程式として導出され、$D_t^\beta \xi_1 = \Gamma(1+\beta)(-\xi_3 (x^2)^\alpha x^3 + \xi_2 x^2 (x^3)^\alpha) + \Gamma(1+\alpha)(-x^3 (\xi_2)^\beta + x^2 (\xi_3)^\beta)$ および他の成分についても同様の式が得られる。
• 極限 $\alpha, \beta \to 1$ において、系は古典的力学に還元され、標準的なハミルトニアンフローが回復される。
• 導出における微分恒等式にガンマ関数およびミタグ・レフラー関数が用いられ、系の分数階性が確認され、動的方程式の明示的計算が可能になる。