[論文レビュー] Fractional eigenvalues in Orlicz spaces with no $\Delta_2$ condition

Ariel Salort, Hernán Vivas|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Young関数 $G$ やその共役関数に $\Delta_2$ 条件を仮定しない、Orlicz-Sobolev 空間における分数階 $g$-ラプラシアン固有値問題に対して非自明解の存在を確立する。制約付き最小化問題を解き、一般化されたラグランジュ乗数定理を適用することで、固有値の存在、スペクトルの閉包性、および細長い領域における一様な下界や対称性に基づく単調性などの性質を導出する。

ABSTRACT

We study the eigenvalue problem for the $g-$Laplacian operator in fractional order Orlicz-Sobolev spaces, where $g=G'$ and neither $G$ nor its conjugated function satisfy the $\\Delta_2$ condition. Our main result is the existence of a nontrivial solution to such a problem; this is achieved by first showing that the corresponding minimization problem has a solution and then applying a generalized Lagrange multiplier theorem to get the existence of an eigenvalue. Further, we prove closedness of the spectrum and some properties of the eigenvalues and, as an application, we show existence for a class of nonlinear eigenvalue problems.

研究の動機と目的

• Orlicz-Sobolev 空間における分数階 $g$-ラプラシアン固有値問題に対して非自明解の存在を確立すること。
• $\Delta_2$ 条件の欠如による弱収縮性や微分可能性の欠如を扱い、標準的な変分法が複雑になる状況を解消すること。
• 非一様的・非倍精度的であるような Orlicz 環境への非線形固有値問題理論の拡張、特に分数階作用素に対して行うこと。
• スペクトルの閉包性や細長い領域における固有値の下界といったスペクトル的性質を確立すること。
• 摂動法および陰関数定理を用いて、非線形固有値問題クラスに対する解の存在を示すこと。

提案手法

• エネルギー汎関数 $\mathcal{F}(u) = \iint G(|D_s u|) \, d\mu$ の制約付き最小化問題として固有値問題を定式化し、$\mathcal{J}(u) = \alpha$ を満たすものとする。
• $W^s_0 L^G(\Omega)$ における弱下半連続性および $L^G$ 収束下での安定性を用いて、制約付き問題の最小化子の存在を証明する。
• 一般化されたラグランジュ乗数定理を適用し、最小化子が固有値方程式の弱形を満たすような固有値 $\lambda$ の存在を導出する。
• 陰関数定理を用いて制約の非線形摂動を扱い、摂動経路に対して $\delta(0) = 0$ および $\delta'(0) > 0$ を保証する。
• Pólya-Szegő 型の対称化原理を活用し、$H(t) = t g(t)$ が凸であるという仮定の下で、対称領域と一般領域における固有値の比較を行う。
• エネルギー汎関数の比の推定とスケーリング論法を用いて、細長い領域における固有値の均一な下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Young関数 $G$ やその共役関数がいずれも $\Delta_2$ 条件を満たさない場合に、分数階 $g$-ラプラシアンの固有値問題が Orlicz-Sobolev 空間で解けるか。
• RQ2 $W^s_0 L^G(\Omega)$ において弱収縮性が欠如する状況下で、エネルギー汎関数 $\mathcal{F}(u)$ の制約付き最小化問題が最小化子を持つのか。
• RQ3 $\Delta_2$ 条件が成り立たない状況下で、スペクトルの閉包性や下界といったスペクトル的性質をどのように確立できるか。
• RQ4 非一様的 Orlicz 環境において、対称化および再配分技法が固有値比較にどのように影響を与えるか。
• RQ5 一般化されたラグランジュ乗数法が、$\Delta_2$ 条件や Fréchet 微分可能性を仮定しない非線形固有値問題に適用可能か。

主な発見

• 任意の $\alpha > 0$ に対して、$\min \{ \mathcal{F}(u) : u \in W^s_0 L^G(\Omega), \mathcal{J}(u) = \alpha \}$ の最小化子が存在する。
• 一般化されたラグランジュ乗数定理を用いて、固有値 $\lambda_\alpha$ を持つ非自明な弱解 $u_\alpha$ が問題 (1.1) に対して存在する。
• $\Sigma = \{ \lambda_\alpha \}$ は、$\Delta_2$ 条件がなくても閉じている。
• 直径 $\mathbf{d} \leq ((1+\varepsilon)C)^{-1/s}$ の細長い領域では、$\lambda_\alpha \geq \varepsilon$ が成り立ち、$\alpha$ に依存しない一様な下界が得られる。
• $H(t) = t g(t)$ が凸であると仮定すると、任意の領域 $\Omega$ に対して、球 $B$ における第一固有値は $\lambda_\alpha(B) \leq \lambda_\alpha(\Omega)$ を満たし、球が第一固有値を最小化することが示される。
• 適切な仮定の下で、$(-\Delta_g)^s u = \lambda g(|u|) \frac{u}{|u|} + f(u)$ の形をした非線形固有値問題は、陰関数定理および制約の安定性を用いて解をもつ。