[論文レビュー] Fractional integral inequalities for different functions

Murat Özdemir, Çetin Yıldız+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝リウヴィルの分数階積分を用いて、さまざまな凸関数クラス—Q(I)、P(I)、およびh-凸関数—に対する新しい分数階積分不等式を確立する。ハダマード型不等式とミンコフスキーの不等式を適用することで、古典的結果を一般化する分数階積分を含む境界が導出され、主な貢献は分数階微積分を用いてr-凸関数およびh-凸関数の不等式を拡張することにある。

ABSTRACT

In this paper, we establish several inequalities for different convex mappings that are connected with the Riemann-Liouville fractional integrals. Our results have some relationships with certain integral inequalities in the literature.

研究の動機と目的

• 異なる凸関数クラスに対して、古典的ハダマール型不等式を分数階積分へ拡張すること。
• Q(I)、P(I)、およびh-凸関数クラスに属する関数に対する分数階積分の性質を調査すること。
• α > 0 のリーマン＝リウヴィルの分数階積分を組み込むことにより、既存の積分不等式を一般化すること。
• 分数階微積分の手法を用いて、r-凸関数およびh-凸関数に関する先行研究の結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• α > 0 のリーマン＝リウヴィルの分数階積分を、ガンマ関数および区間 [a,b] 上の積分を用いて定義する。
• f(a) および f(b) のべき平均を含む分数階積分表現の境界を求めるために、ミンコフスキーの不等式を適用する。
• [0,1] 上での変数変換と重み t^{α−1} を用いた積分を実行し、分数階積分を凸性条件に関連付ける。
• λ ∈ (0,1) に対して f(λx + (1−λ)y) ≤ h(λ)f(x) + h(1−λ)f(y) を満たす h-凸性条件を用いて境界を導出する。
• h-凸関数の上界を求めるための重要な構成要素として、積分 ∫₀¹ t^{α−1}[h(t) + h(1−t)] dt を導入・分析する。
• α = 1 のとき、古典的不等式（例：ハダマール、ゴドゥノーヴァ＝レヴィン、P関数）が特殊ケースとして回復されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q(I)-クラス関数に対して、どのようにハダマール型不等式を分数階積分へ一般化できるか？
• RQ2 リーマン＝リウヴィル積分を用いて、P(I)-クラス関数に対する分数階積分の境界をどのように導出できるか？
• RQ3 α > 0 の場合、r-凸関数は分数階積分不等式の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 標準的凸性と比較して、h-凸関数は分数階積分の境界をどのように変更するか？
• RQ5 どのような条件下で、導出された分数階不等式がハダマールの古典的不等式に還元されるか？

主な発見

• 0 < r ≤ 1 の r-凸関数に対して、不等式 ∫ₐᵇ f(x)dx / (b−a) ≤ (r/(r+1))^{1/r} (fʳ(a) + fʳ(b))^{1/r} が成り立ち、r→0+ の極限で等号が成立する。
• r-凸関数の分数階積分の境界は、ミンコフスキーの不等式およびベータ関数を用いて導出され、次のようになる： ∫₀¹ t^{α−1} (t fʳ(a) + (1−t) fʳ(b))^{1/r} dt ≤ [ (1/(α + 1/r))ʳ fʳ(a) + (β(α, (r+1)/r))ʳ fʳ(b) ]^{1/r}。
• h-凸関数に対して、不等式 1/(α h(1/2)) f((a+b)/2) ≤ Γ(α)/(b−a)ᵃ J_{a+}^{α}f(b) + J_{b−}^{α}f(a) ≤ [f(a)+f(b)] ∫₀¹ t^{α−1} [h(t)+h(1−t)] dt が確立された。
• α = 1 のとき、h-凸関数の不等式は既知のハダマール型境界に還元される： f((a+b)/2)/(2h(1/2)) ≤ (1/(b−a))∫ₐᵇ f(x)dx ≤ [f(a)+f(b)]∫₀¹ h(α)dα。
• α = 1 かつ h(λ) = 1 のとき、P関数の不等式 f((a+b)/2) ≤ 2/(b−a) ∫ₐᵇ f(x)dx ≤ 2[f(a)+f(b)] が特殊ケースとして回復される。
• α = 1 かつ h(λ) = 1/λ のとき、ゴドゥノーヴァ＝レヴィンの不等式 f((a+b)/2) ≤ 4/(b−a) ∫ₐᵇ f(x)dx が回復される。