[論文レビュー] Fractional Negative Binomial and Polya Processes

P. Vellaisamy, Aditya Maheshwari|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、分数ポアソン過程をガンマ過程に従属させることで分数負の二項過程（FNBP）を導入し、空間分数ポアソン過程をガンマ従属過程に従属させることで空間分数ポアソン過程（SFPP）を導入する。主な貢献は、FNBPが長距離依存性を示し、その1次元分布が無限に分解可能でないことを証明したことである。一方、SFPPは時間および形状パラメータに関する分数級偏微分方程式（PDE）を満たし、長記憶的かつ重尾型のカウンティング過程の新しいモデルを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we define a fractional negative binomial process (FNBP) by replacing the Poisson process by a fractional Poisson process (FPP) in the gamma subordinated form of the negative binomial process. First, it is shown that the one-dimensional distributions of the FPP are not infinitely divisible. The long-range dependence of the FNBP, the short-range dependence of its increments and the infinite divisibility of the FPP and the FNBP are investigated. Also, the space fractional Polya process (SFPP) is defined by replacing the rate parameter $λ$ by a gamma random variable in the definition of the space fractional Poisson process. The properties of the FNBP and the SFPP and the connections to $pde$'$s$ governing the density of the FNBP and the SFPP are also investigated.

研究の動機と目的

• 標準ポアソン過程の代わりに分数ポアソン過程を用いて、ガンマ従属フレームワーク内で新しい分数負の二項過程（FNBP）のクラスを定義すること。
• FNBPの無限に分解可能性和長距離依存性、およびその増分の性質を調査すること。
• 空間分数ポアソン過程をガンマ従属過程に従属させることで、空間分数ポアソン過程（SFPP）を導入すること。
• FNBPおよびSFPPの時間および形状パラメータの動的を支配する分数級PDEを導出し、解析すること。
• 確率過程とその支配的分数級PDEとの関係を確立し、古典的結果を分数的設定に拡張すること。

提案手法

• FNBPを $ Q_{\beta}(t,\lambda) = N_{\beta}(\Gamma(t), \lambda) $ と定義する。ここで $ N_{\beta} $ は分数ポアソン過程、$ \Gamma(t) $ はガンマ従属過程である。
• 逆スケーリング安定従属過程 $ E_{\beta}(t) $ を用いて、FPPの初到達時刻構造を特徴づけ、時間変換表現を可能にする。
• ミタグレフ関数およびM-Wright関数を含む積分変換を用いて、FNBPの1次元分布を導出する。
• FNBPの周辺分布が、FPP自体が無限に分解可能でないにもかかわらず、無限に分解可能でないことを確立する。
• SFPPを $ \widetilde{W}^{\Gamma}_{\beta}(t) = \widetilde{N}_{\beta}(t, \Gamma) $ と定義する。ここで $ \widetilde{N}_{\beta}(t, \lambda) = N(D_{\beta}(t), \lambda) $ であり、$ D_{\beta}(t) $ は $ \beta $-安定従属過程である。
• ガンマ関数およびミタグレフ関数の性質を用いて、SFPPの確率質量関数に対する時間 $ t $ および形状パラメータ $ p $ における分数級PDEを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数負の二項過程（FNBP）の1次元分布は無限に分解可能か？
• RQ2 FNBPは長距離依存性を示すか？ また、その増分は短距離依存性を示すか？
• RQ3 空間分数ポアソン過程の一般化は構築可能か？ その確率的性質は何か？
• RQ4 SFPPの時間および形状パラメータの動的を支配する分数級PDEは何か？
• RQ5 分数ポアソン過程およびその従属形は、古典的確率過程およびその支配的PDEとどのように関係するか？

主な発見

• FNBPの1次元分布は、根幹の分数ポアソン過程が無限に分解可能でないのと同様に、無限に分解可能でない。
• FNBPは、自己共分散関数のべき則減衰によって示されるように、長距離依存性を示す。
• FNBPの増分は短距離依存性を示しており、時間経過に伴いマークフ型の記憶減衰を示す。
• 空間分数ポアソン過程（SFPP）は確率的に連続的であり、定常増分を持つが、独立増分を持たないため、リーヴィ過程ではない。
• SFPPの確率質量関数は、時間 $ t $ における $ k $ 階の分数級PDEに従い、$ \frac{\partial^k}{\partial t^k} \widetilde{\eta}_{\beta}(n|t,\alpha,p) = \left( -(1-u)^\beta \frac{\Gamma(p+\beta)}{\alpha^\beta \Gamma(p)} \right)^k \widetilde{\eta}_{\beta}(n|t,\alpha,p+k\beta) $ で与えられる。
• SFPPは形状パラメータ $ p $ に関しても分数級PDEを満たし、ディガンマ関数および分数階微分を含むものであり、ガンマ密度の $ \nu $ 階微分を用いて導出される。