[論文レビュー] Fractional-Order Structural Stability: Formulation and Application to the Critical Load of Slender Structures

Sai Sidhardh, Sansit Patnaik+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2020

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、空間分数階微分を用いて長距離相互作用をモデル化することで、非局所固体における構造的安定性を分析する分数階連続体フレームワークを提案する。熱力学的に整合したエネルギーに基づく安定性基準を導出し、非局所効果が材料剛性と幾何的剛性の両方を同時に低減させることを示し、古典的非局所モデルが片方の剛性項にのみ影響を与えるのとは異なり、臨界座屈荷重の予測がより正確であることを明らかにする。

ABSTRACT

This study presents the framework to perform a stability analysis of nonlocal solids whose response is formulated according to the fractional-order continuum theory. In this formulation, space fractional-order operators are used to capture the nonlocal response of the medium by introducing nonlocal kinematic relations. First, we use the geometrically nonlinear fractional-order kinematic relations within an energy-based approach to establish the Lagrange-Dirichlet stability criteria for fractional-order nonlocal structures. This energy-based approach to nonlocal structural stability is possible due to a positive-definite and thermodynamically consistent definition of deformation energy enabled by the fractional-order kinematic formulation. Then, the Rayleigh-Ritz coefficient for the critical load is derived for linear buckling conditions. The fractional-order formulation is finally used to determine critical buckling loads of slender nonlocal beams and plates using a dedicated fractional-order finite element solver. Results establish that, in contrast to existing studies, the effect of nonlocal interactions is observed on both the material and the geometric stiffness, when using the fractional-order kinematics approach. We support these observations quantitatively with the help of case studies focusing on the critical buckling response of fractional-order nonlocal slender structures, and qualitatively via direct comparison of the fractional-order approach with the classical nonlocal approaches.

研究の動機と目的

• 分数階連続体理論を用いて、熱力学的に整合的でエネルギーに基づく非局所固体の安定性解析フレームワークを構築すること。
• 特に安定性解析において、不適切な定式化や熱力学的不整合を示す古典的非局所弾性モデルの限界を是正すること。
• 非局所効果が材料剛性と幾何的剛性の両方に及ぼす影響を捉えることで、スランド構造の臨界座屈荷重を正確に予測すること。
• ビームおよび板に対するケーススタディを通じて、古典的積分型および微分型非局所モデルと比較して、分数階モデルの優位性を示すこと。

提案手法

• 空間分数階微分を用いて非局所相互作用をモデル化する幾何学的非線形分数階運動学的関係を定式化する。
• ラグランジュ＝ディリクレの定理を適用し、分数階非局所構造のエネルギーに基づく安定性基準を確立する。
• 分数階形式を用いて線形座屈条件下での臨界座屈荷重のレイリー＝リッツ表現を導出する。
• ビームおよび板の固有値問題を数値的に解くための分数階有限要素ソルバを構築する。
• 分数階運動学から導かれる正定値な変形エネルギー密度を用いて、熱力学的整合性を保証する。
• 古典的非局所モデル（エリンゲンの積分型および微分型定式化）と比較し、剛性修正の差異を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階微積分を用いた非局所固体の熱力学的に整合的でエネルギーに基づく安定性解析をどのように定式化できるか？
• RQ2 分数階モデルは、古典的非局所モデルと比較して、材料剛性と幾何的剛性の両方をどのように修正するか？
• RQ3 材料剛性と幾何的剛性の両方が影響を受ける場合、非局所性がスランドビームおよび板の臨界座屈荷重に及ぼす影響は何か？
• RQ4 分数階形式は、古典的非局所弾性理論に見られる不適切な定式化および熱力学的不整合をどのように解消するか？

主な発見

• 分数階形式により、正定値で熱力学的に整合的な変形エネルギー密度が得られ、エネルギーに基づく安定性解析が可能になる。
• 分数階モデルにおける非局所効果は、材料剛性 [K^b] と幾何的剛性 [G^b] の両方を低減させるが、古典的モデルとは異なり片方の剛性項にしか影響しない。
• パラメトリックスタディの結果、非局所性の増加に伴い両剛性項が低減し、臨界座屈荷重に競合する効果が生じることが示された。
• 分数階モデルは、古典的局所弾性理論よりも低い臨界荷重を予測しており、非局所挙動の実験的観察と整合的である。
• エリンゲンの積分モデルと比較して、分数階モデルは不適切な定式化を回避し、純粋な非局所性の極限においても適切に定義された自己随伴作用素を保証する。
• 非局所弾性の微分モデルは幾何的剛性 [G^b] のみを修正するが、分数階モデルは [K^b] と [G^b] の両方を修正するため、非局所効果のより包括的な表現が可能となる。