[論文レビュー] Fractionalizing Majorana fermions: non-abelian statistics on the edges of abelian quantum Hall states

Netanel H. Lindner, Erez Berg+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2012

Topological Materials and Phenomena参考文献 61被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、分数量子ホール系の反対方向に伝播するエッジモードを超伝導体およびフェロ磁性体に近接結合することによって、非アーベル統計を実現するための新規なメカニズムを提案する。超伝導体およびフェロ磁性体に結合された領域の境界面ごとに、量子次元 $\sqrt{2m}$ の非アーベル任意粒子が存在し、メジャナナベースの系よりも豊かなブレード群表現を可能にするが、ユニバーサルな量子計算は達成できない。

ABSTRACT

We study the non-abelian statistics characterizing systems where counter-propagating gapless modes on the edges of fractional quantum Hall states are gapped by proximity-coupling to superconductors and ferromagnets. The most transparent example is that of a fractional quantum spin Hall state, in which electrons of one spin direction occupy a fractional quantum Hall state of $ν= 1/m$, while electrons of the opposite spin occupy a similar state with $ν= -1/m$. However, we also propose other examples of such systems, which are easier to realize experimentally. We find that each interface between a region on the edge coupled to a superconductor and a region coupled to a ferromagnet corresponds to a non-abelian anyon of quantum dimension $\sqrt{2m}$. We calculate the unitary transformations that are associated with braiding of these anyons, and show that they are able to realize a richer set of non-abelian representations of the braid group than the set realized by non-abelian anyons based on Majorana fermions. We carry out this calculation both explicitly and by applying general considerations. Finally, we show that topological manipulations with these anyons cannot realize universal quantum computation.

研究の動機と目的

• 従来の超伝導体近接結合に基づくメジャナナフェルミオンの枠組みを拡張し、分数量子ホールエッジ状態における分数量化された非アーベル統計を実現すること。
• 分数量子ホールエッジ上における超伝導体およびフェロ磁性体に結合された領域の境界面に、量子次元 $\sqrt{2m}$ の非アーベル任意粒子が存在することを示すこと。
• これらの任意粒子に関連するユニタリブレード変換を計算し、標準的なメジャナナベースの系よりも豊かな非アーベル表現を実現することを示すこと。
• これらの任意粒子のトポロジカル量子計算可能性を検討し、特にユニバーサルな量子計算を達成できるかどうかを調査すること。

提案手法

• スピンアップおよびスピンダウン電子がそれぞれ $\nu = 1/m$ および $\nu = -1/m$ 状態を占める分数量子スピンホール状態を分析し、反対方向に伝播するエッジモードを形成する。
• 超伝導体（電荷保存を破る）およびフェロ磁性体（時間反転対称性を破る）への近接結合によるエッジモードのギャップ形成をモデル化し、境界で局在する分数量子メジャナナモードを導出する。
• コンパクト化されたボソンを用いた $U(1)$ 対称な場理論的手法を用い、任意粒子統計を $\theta$-項およびウィルソン線で記述する。
• ブレード演算子のフーリエ表現と電荷保存型射影を用いて、任意粒子の電荷を交換するユニタリ操作 $U_{ij}$ を通じてブレード変換を導出する。
• 一般的なトポロジカル議論と明示的計算を用いて、任意粒子のトポロジカルスピンが初期電荷状態に依存しないことを確認する。
• スピンがゼロのフェロ磁性体セグメントに射影することで一貫性のチェックを実施し、ブレード過程で得られる位相がトポロジカルに不変であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超伝導体およびフェロ磁性体への近接結合によって、分数量子ホールエッジ状態に非アーベル統計が出現するか。
• RQ2 SCおよびFMに結合された領域の境界に形成される任意粒子の量子次元および任意粒子統計は何か。
• RQ3 これらの任意粒子のブレード群表現は、従来のメジャナナフェルミオンのものと比較して、ユニタリ変換の豊かさにおいてどのように異なるか。
• RQ4 これらの任意粒子を用いたトポロジカル操作によって、ユニバーサルな量子計算を達成できるか。
• RQ5 任意粒子のトポロジカルスピンは初期電荷配置に依存せず、安定性が保証されるか。

主な発見

• 分数量子ホール状態のエッジ上における超伝導体およびフェロ磁性体に結合された領域の境界面ごとに、量子次元 $\sqrt{2m}$ の非アーベル任意粒子が存在する。
• これらの任意粒子が実現するブレード群表現は、メジャナナフェルミオンのそれよりも豊かであり、メジャナナの $\sqrt{2}$ 次元ヒルベルト空間を越えた非アーベル統計を支持する。
• 電荷 $q_1$ および $q_2$ の2つの任意粒子をブレードする際のユニタリ変換には、位相因子 $e^{i\frac{\pi}{m}q_1 q_2}$ が付加され、トポロジカルスピン $\theta_q = e^{i\frac{π}{m}q^2}$ と整合的である。
• 初期電荷状態に依存しないトポロジカルスピンが、電荷シフトに対して不変であることを示す一貫性チェックにより確認された。
• ブレード演算子のフーリエ表現と電荷保存型射影を用いた明示的計算により、ユニタリな交換過程および対応する位相因子が正当化された。
• 豊かな統計にもかかわらず、系はユニバーサルなトポロジカル量子計算を実現できない。なぜなら、任意粒子がユニバーサルゲートセットをサポートしないからである。