[論文レビュー] Fragmentability and representations of flows

Michael Megrelishvili|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2004

Advanced Banach Space Theory参考文献 48被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、弱いほとんど周期的関数の一般化としてアスプルンド関数を導入し、アスプルンド空間および反射的バナッハ空間における流れの表現と結びつける。流れが弱いほとんど周期的であるための必要十分条件として、十分に多くの反射的表現が存在することを示し、断片的可縮性（fragmentability）を統一的ツールとして用いて等連続性を一般化し、特に双対空間がNP（ナミオカ＝フレプス）空間である場合には、弱位相と強位相が軌道上で一致することを示す。

ABSTRACT

Our aim is to study weak star continuous representations of semigroup actions into the duals of ``good'' (e.g., reflexive and Asplund) Banach spaces. This approach leads to flow analogs of Eberlein and Radon-Nikodym compacta and a new class of functions (Asplund functions) which intimately is connected with Asplund representations and includes the class of weakly almost periodic functions. We show that a flow is weakly almost periodic iff it admits sufficiently many reflexive representations. One of the main technical tools in this paper is the concept of fragmentability (which actually comes from Namioka and Phelps) and widespreadly used in topological aspects of Banach space theory. We explore fragmentability as ``a generalized equicontinuity'' of flows. This unified approach allows us to obtain several dynamical applications. We generalize and strengthen some results of Akin-Auslander-Berg, Shtern, Veech-Troallic-Auslander and Hansel-Troallic. We establish that frequently, for linear G-actions, weak and strong topologies coincide on, not necessarily closed, G-minimal subsets. For instance such actions are ``orbitwise Kadec``.

研究の動機と目的

• 反射的およびアスプルンドバナッハ空間の双対空間への半群作用の弱*連続表現を研究すること。
• 弱いほとんど周期的関数の自然な一般化としてのアスプルンド関数を定義し、分析すること。
• 反射的表現を通じた弱いほとんど周期的流れの特徴付けを確立すること。
• 断片的可縮性が力学系における一般化された等連続性条件として果たす役割を探索すること。
• 線形群作用の軌道において弱位相と強位相がいつ一致するかを特定すること、特にアスプルンド空間およびNP空間において。

提案手法

• ナミオカとフレプスが最初に導入した断片的可縮性の概念を、流れにおける等連続性の一般化としての位相的道具として用いる。
• デイヴィス、フィジエル、ジョンソン、ペルツィンスキーの双対性および因数分解技法を、リマ、ニャーガード、オヤの等長版に適応して応用する。
• アスプルンド空間の双対性フレームワーク（ステガールの枠組み）において、弱コンパクト集合の代わりにアスプルンド部分集合を導入する。
• ナミオカ＝フレプス（NP）空間条件を用いて、双対空間の軌道において弱*位相と強位相が一致することを保証する。
• 表現の行列係数を分析し、関数類（WAP、アスプルンド、LUC）と群作用の位相的性質との関連を結びつける。
• カデック性質を用いて、双対空間におけるG-軌道において弱*位相と強位相が一致する条件を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流れが反射的表現をもつのはいつか？ そしてこれは弱いほとんど周期的性とどのように関係するか？
• RQ2 バナッハ空間表現の文脈において、アスプルンド関数は弱いほとんど周期的関数をどのように一般化するか？
• RQ3 線形群作用の双対バナッハ空間における軌道において、弱*位相と強位相がいつ一致するか？
• RQ4 断片的可縮性は、流れに対して等連続性の一般化としてどのような意味で機能するか？
• RQ5 NP（ナミオカ＝フレプス）空間は、双対群作用の連続性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 流れが弱いほとんど周期的であるための必要十分条件は、十分に多くの反射的表現が存在することである。
• すべての弱いほとんど周期的流れは、エーベルライン流れの部分直積に含まれる。これは文献に既知の結果を一般化する。
• アスプルンド関数は、アスプルンド空間への表現の行列係数として特徴付けられ、WAP関数の理論を拡張する。
• アスプルンドバナッハ空間では、元の作用が jointly continuous かつ有界であれば、群の双対作用も jointly continuous である。
• NP空間では、等連続な群作用の軌道において弱*位相と強位相が一致し、その結果、軌道はカデック部分集合であることが示される。
• アスプルンド関数のクラスは、WAP関数を真に含み、左および右の均一連続関数の共通部分集合に含まれる。