[論文レビュー] A note on the precompactness of weakly almost periodic groups

Michael Megrelishvili, Vladimir Pestov+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2000

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、任意の位相群 $G$ に対して、以下の3条件が同値であることを確立する：(1) $G$ の任意のコンパクト空間への連続作用は弱い意味でほとんど周期的である；(2) $G$ 上の任意の有界で右一様連続関数は弱い意味でほとんど周期的である；(3) $G$ は前コンパクトである。主な貢献は、既知の結果の逆を一般化して証明したことであり、これはAkinとGlasnerによる単生成群の場合の先行研究を拡張し、すべてのコンパクト空間への連続作用の弱い意味でほとんど周期的性を保証する正確な条件が前コンパクト性であることを確認するものである。

ABSTRACT

An action of a group $G$ on a compact space $X$ is called weakly almost periodic if the orbit of every continuous function on $X$ is weakly relatively compact in $C(X)$. We observe that for a topological group $G$ the following are equivalent: (i) every continuous action of $G$ on a compact space is weakly almost periodic; (ii) $G$ is precompact. For monothetic groups the result was previously obtained by Akin and Glasner, while for locally compact groups it has been known for a long time.

研究の動機と目的

• 任意のコンパクト空間への連続作用の弱い意味でほとんど周期的性と、その背後にある位相群の前コンパクト性との同値性を確立すること。
• 単生成群および局所コンパクト群に対して以前に確立された結果を、任意の位相群にまで一般化する一般的な特徴づけを提供すること。
• 不変平均とPachlの結果を用いて、Ellis-Lawsomの連続性定理を再証明すること。
• 弱い意味でほとんど周期的コンパクト化 $G^w$ と最大アービット ${\mathcal{S}}(G)$ の関係を明確にすること、特にそれらが一致する条件を特定すること。

提案手法

• 不変平均の理論とPachlの結果による一意的アメニタリティの分析を用いて、位相群における弱い意味でほとんど周期的性を分析する。
• Ryll-Nardzewskiの定理を適用し、$W(G) = \mathrm{RUC}^b(G)$ のときの一意的アメニタリティを導出する。
• Lemma 4.4を用いた部分群と商群の議論により、一般の場合を可分な距離空間の場合に還元する。
• 最大アービット ${\mathcal{S}}(G)$ における標準的な $G$-空間構造とその普遍性を用いて、弱い意味でほとんど周期的性とコンパクト化構造の関係を関係づける。
• 関数の軌道構造を分析するために、$G^w$ が $G$ の最大のコンパクトな半位相的半群商であるという事実を用いる。
• 部分群および準同型像に関してw.a.p.群のクラスが閉じている（Lemma 4.3）という事実を応用し、還元における性質の保存を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相群 $G$ の任意のコンパクト空間への連続作用が弱い意味でほとんど周期的であるための条件は何か？
• RQ2 すべての有界連続関数に対する群作用の弱い意味でほとんど周期的性を保証するために、前コンパクト性は必要かつ十分か？
• RQ3 弱い意味でほとんど周期的コンパクト化 $G^w$ と最大アービット ${\mathcal{S}}(G)$ が一致することは、任意の位相群において前コンパクト性を特徴づけるか？
• RQ4 単生成群や局所コンパクト群に対して既に知られていた結果に依存せずに、弱い意味でほとんど周期的性と前コンパクト性の同値性を確立できるか？

主な発見

• 任意の位相群 $G$ に対して、$G$ の任意のコンパクト空間への連続作用が弱い意味でほとんど周期的であるという条件は、$G$ が前コンパクトであることと同値である。
• $W(G)$（弱い意味でほとんど周期的関数の空間）と $\mathrm{RUC}^b(G)$（有界で右一様連続関数の空間）が一致するための必要十分条件は、$G$ が前コンパクトであることである。
• 写像 $G \to G^w$ が位相的埋め込みであるための必要十分条件は $G$ が前コンパクトであることであるが、一般には成り立たない。例として $\mathrm{Homeo}_+(\mathbb{I})$ が反例として示されている。
• 証明により、$W(G) = \mathrm{RUC}^b(G)$ ならば $G$ は一意的アメニタリティを満たすことが示され、これは前コンパクト性への到達における重要な中間段階である。
• AkinとGlasner（単生成群の場合）および古典的な局所コンパクト群に関する結果を、任意の位相群にまで一般化する。
• 不変平均とPachlの結果を用いて、Ellis-Lawsomの連続性定理を再証明し、より新しくかつ簡潔な証明を与えた。