[論文レビュー] Framed Rank r Torsion-free Sheaves on CP^2 and Representations of the Affine Lie Algebra \hat{gl(r)}

Anthony Licata|ArXiv.org|Jul 26, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}P^2$ 上のフレーム付き階数 $r$ の torsion-free 型層のモジュライ空間の等置同調同調群を用いて、$\widehat{gl}(r)$ のレベル1およびレベル-$k$ の既約表現の幾何的実現を構成する。$\mathbb{Z}_k$-作用を導入し、固定点成分を解析することにより、著者たちはレベル-$k$ の表現を Nakajima のクiver 多様体上で実現し、$\widehat{gl}(r)$ のレベル $k$ と $\widehat{gl}(k)$ のレベル $r$ の間で幾何的レベルランク双対性を確立する。この研究は Nakajima の構成を拡張し、ボソン・フェルミオン双対性の幾何的解釈を提供する。

ABSTRACT

We construct geometric realizations of the r-colored bosonic and fermionic Fock space on the equivariant cohomology of the moduli space of framed rank r torsion-free sheaves on CP^2. Using these constructions, we realize geometrically all level one irreducible representations of the affine Lie algebra \hat{gl(r)}. The cyclic group Z_k acts naturally on the moduli space of sheaves, and the fixed-point components of this action are cyclic Nakajima quiver varieties . We realize level k irreducible representations of \hat{gl(r)} on the equivariant cohomology of these quiver varieties.

研究の動機と目的

• フレーム付き階数 $r$ の torsion-free 型層のモジュライ空間 $\mathbb{CP}^2$ を用いて、$\widehat{gl}(r)$ の既約表現の幾何的実現を構成すること。
• 以前の、コホモロジー上のヘイゼンベルク代数およびクリフォード代数作用の幾何的構成を、$\widehat{gl}(r)$ の高レベル表現へ拡張すること。
• 等置同調同調群の固定点部分多様体のコホモロジーを通じて、$\widehat{gl}(r)$ のレベル $k$ と $\widehat{gl}(k)$ のレベル $r$ の表現の間の幾何的レベルランク双対性を確立すること。
• ヘイゼンベルク代数およびクリフォード代数の作用の相互作用を通じて、ボソン・フェルミオン双対性の幾何的解釈を提供すること。

提案手法

• 階数 $r$ のフレーム付き torsion-free 型層のモジュライ空間 $M_{\vec{l}}(r,n)$ を用い、第二チエラ数が $n$ で、$\vec{l} \in \mathbb{Z}^r$ で指定されるトーラス作用を持つ。
• 等置局在化を適用し、$M_{\vec{l}}(r,n)$ の等置同調同調群を、特に $\mathbb{C}^2$ のヒルベルトスキーム $\mathbb{C}^2^{[n_i]}$ の積に帰着させる。
• $M_{\vec{l}}(r,n)$ の等置同調同調群上に、無限次元ヘイゼンベルク代数およびクリフォード代数の関係を実現する作用素を構成する。
• $M_{\vec{l}}(r,n)$ に $\mathbb{Z}_k$-作用を導入し、その固定点成分が $\widehat{sl}(k)$ のアフィン・ディンキン図形に関連する巡回的 Nakajima クイバー多様体に同型であることを示す。
• 固定点部分多様体 $M_{\vec{l}}(r,n)^{\mathbb{Z}_k}$ の積に応じる対応を定義し、レベル $k$ のヘイゼンベルク代数作用を実現することで、$\widehat{gl}(r)$ の表現を構成する。
• 固定点部分多様体の等置同調同調群とフォック空間 $\mathcal{B}^r_k$ の間に同型を確立し、$\widehat{gl}(r)$ のレベル-$k$ の表現の幾何的実現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フレーム付き型層のモジュライ空間 $\mathbb{CP}^2$ の等置同調同調群は、どのようにして $\widehat{gl}(r)$ の表現を実現できるか？
• RQ2 $M_{\vec{l}}(r,n)$ の $\mathbb{Z}_k$-作用の幾何的役割は何か？ そして、それが $\widehat{gl}(r)$ の高レベル表現へどのように導くか？
• RQ3 ヘイゼンベルク代数およびクリフォード代数の作用の相互作用を通じて、ボソン・フェルミオン双対性を幾何的に実現できるか？
• RQ4 $\widehat{gl}(r)$ のレベル $k$ と $\widehat{gl}(k)$ のレベル $r$ の表現の間には幾何的レベルランク双対性があるか？ もしあるならば、コホモロジーにおいてどのように実現されるか？
• RQ5 ${\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k}}$ 上の $U(r)$-インスタントンのモジュライ空間と、${\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_r}}$ 上の $U(k)$-インスタントンのモジュライ空間の関係は何か？ そして、これはコホモロジーにおける双対性とどのように関係するか？

主な発見

• $\bigoplus_{\vec{l},n} H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n), \mathbb{C})$ は、無限次元クリフォード代数の既約モジュールの幾何的実現を担う。
• 任意の固定された $\vec{l} \in \mathbb{Z}^r$ に対して、空間 $\bigoplus_n H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n), \mathbb{C})$ は、無限次元ヘイゼンベルク代数の既約モジュールを実現する。
• $Q = \{ \vec{l} \mid \sum l_i = 0 \}$ に対して、部分空間 $\bigoplus_{\vec{l} \in Q, n} H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n), \mathbb{C})$ は、$\widehat{gl}(r)$ の基本的（レベル1）表現を幾何的に実現する。
• $M_{\vec{l}}(r,n)$ の $\mathbb{Z}_k$-固定点成分は、$\widehat{sl}(k)$ のアフィン・ディンキン図形に関連する巡回的 Nakajima クイバー多様体に同型である。
• 空間 $\mathcal{B}^r_k = \bigoplus_{\vec{l},n} H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n)^{\mathbb{Z}_k}, \mathbb{C})$ は、$\widehat{gl}(r)$ のレベル-$k$ の既約表現の直和の幾何的実現を担う。
• 著者たちは幾何的レベルランク双対性を確立した：$\mathcal{B}^r_k$ は $\widehat{gl}(r)$ のレベル-$k$ の表現と $\widehat{gl}(k)$ のレベル-$r$ の表現の両方を担い、$\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k}$ 上の $U(r)$-インスタントンと $\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_r}$ 上の $U(k)$-インスタントンの間の双対性を示唆する。