[論文レビュー] Quiver varieties and Hilbert schemes

Alexander Kuznetsov|ArXiv.org|Nov 8, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、2つの幾何的対象——$̲\Gamma$-不変ヒルベルトスキーの$̲\mathbb{C}^2$上と、$̲\mathbb{C}^2/\Gamma$の最小解消上のヒルベルトスキー——が、 McKay対応を通じてアフィン・ディンキン図形に付随するキーバーバリエティに同型であることを確立する。同型はパラメータ$̲\zeta_{\mathbb{R}}$が異なるチャネルにあることに依存する：$̲\mathbf{C}_+$では$̲\Gamma$-不変ヒルベルトスキーが得られ、$̲\mathbf{C}_-(n)$では解消上のヒルベルトスキーが得られる。これにより微分同相が導かれ、一様に色分けされたヤング図形と総サイズ$̲n$の$̲d$個のヤング図形の集合の間の新しい組合せ的恒等式が得られる。この結果は、Crawley-Boeveyのキーバーバリエティのモジュライ空間的解釈とトーラス固定点解析を用いて導出される。

ABSTRACT

In this note we give an explicit geometric description of some of the Nakajima's quiver varieties. More precisely, we show that the $Γ$-equivariant Hilbert scheme $X^{Γ[n]}$ and the Hilbert scheme $X_Γ^{[n]}$ (where $X=\C^2$, $Γ\subset SL(\C^2)$ is a finite subgroup, and $X_Γ$ is a minimal resolution of $X/Γ$) are quiver varieties for the affine Dynkin graph, corresponding to $Γ$ via the McKay correspondence, the same dimension vectors, but different parameters $ζ$ (for earlier results in this direction see [4, 12, 13]). In particular, it follows that the varieties $X^{Γ[n]}$ and $X_Γ^{[n]}$ are diffeomorphic. Computing their cohomology (in the case $Γ=\Z/d\Z$) via the fixed points of $(\C^* imes\C^*)$-action we deduce the following combinatorial identity: the number $UCY(n,d)$ of uniformly coloured in d colours Young diagrams consisting of nd boxes coincides with the number $CY(n,d)$ of collections of d Young diagrams with the total number of boxes equal to n.

研究の動機と目的

• キーバーバリエティと2種類のヒルベルトスキー（$̲X^{\Gamma[n]}$ および $̲X_{\Gamma}^{[n]}$）の幾何的同型を確立すること。
• これらの同型が、$̲\mathbb{R}^d$ の異なるチャネルに位置するパラメータ$̲\zeta_{\mathbb{R}}$に依存することを示すこと。
• $̲\Gamma$-不変ヒルベルトスキー$̲X^{\Gamma[n]}$ と解消上のヒルベルトスキー$̲X_{\Gamma}^{[n]}$ が、それらのキーバーバリエティ構造を通じて微分同相であることを証明すること。
• トーラス固定点からのコホモロジーを用いて、一様に色分けされたヤング図形と総サイズ$̲n$の$̲d$個のヤング図形の集合の間の新しい組合せ的恒等式を導出すること。

提案手法

• ダブル・クイバーの表現のモジュライ空間としてキーバーバリエティを解釈する Crawley-Boevey の解釈を用いる。
• 有限部分群$̲\Gamma \subset SL(\mathbb{C}^2)$ をアフィン・ディンキン図形に結びつける McKay 対応を適用する。
• ヒルベルトスキーにおける$\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$ の作用を分析し、ヤング図形を用いて固定点を分類する。
• $̲X^{\Gamma[n]}$ 上の固定点を一様に色分けされたヤング図形（各対角色に同じボックス数）と特定する。
• $̲X_{\Gamma}^{[n]}$ 上の固定点を総サイズ$̲n$の$̲d$個のヤング図形の順序付き集合と特定する。
• 固定点の数え上げによるコホモロジー次元の計算を行い、それらを等置することで組合せ的恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のパラメータ選択のもとで、キーバーバリエティは$̲\mathbb{C}^2$上の$̲\Gamma$-不変ヒルベルトスキーに同型か？
• RQ2 最小解消上のヒルベルトスキー$̲X_{\Gamma}$ は、異なるパラメータ領域を持つキーバーバリエティとして実現可能か？
• RQ3 $̲X^{\Gamma[n]}$ 上の$̲\Gamma$-不変固定点の数は、$̲n$ ボックスの$̲d$-タプルのヤング図形の数に等しいか？
• RQ4 対角色分けされた一様なヤング図形と総サイズ$̲n$の$̲d$個のヤング図形の集合との間に、組合せ的恒等式が存在するか？
• RQ5 Calogero-Moser空間は、$̲\Gamma$-不変設定における$̲\Gamma$-固定点を通じてキーバーバリエティと関連づけられるか？

主な発見

• パラメータ$̲\zeta_{\mathbb{R}} \in \mathbf{C}_+$ のとき、キーバーバリエティ$̲\mathfrak{M}_{(0,\zeta_{\mathbb{R}})}(n\mathbf{v}^0, \mathbf{w}^0)$ は$̲\Gamma$-不変ヒルベルトスキー$̲X^{\Gamma[n]}$ に同型である。
• 同じキーバーバリエティは、$̲\zeta_{\mathbb{R}} \in \mathbf{C}_-(n)$ のとき、解消上のヒルベルトスキー$̲X_{\Gamma}^{[n]}$ に同型である。
• $̲X^{\Gamma[n]}$ と$̲X_{\Gamma}^{[n]}$ は、共通のキーバーバリエティ構造のおかげで微分同相である。
• $̲X^{\Gamma[n]}$ 上の$̲\Gamma$-不変固定点の数は、各色に$̲n$ ボックスを持つ一様に色分けされたヤング図形の数、$̲UCY(n,d)$ に等しい。
• $̲X_{\Gamma}^{[n]}$ 上の固定点の数は、$̲n$ ボックスの総和を持つ$̲d$-タプルのヤング図形の数、$̲CY(n,d)$ に等しい。
• すべての$̲n,d > 0$ に対して$̲UCY(n,d) = CY(n,d)$ が成り立ち、これはトーラス固定点解析からのコホモロジー次元の比較によって証明される。