[論文レビュー] Framed sheaves on root stacks and supersymmetric gauge theories on ALE spaces

Ugo Bruzzo, Mattia Pedrini+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 62被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、根トーリックスタック上のフレームド層を用いた層論的枠組みを導入し、$A_{k-1}$ ALE空間上の${\mathcal{N}}=2$超対称ゲージ理論を研究する。最小解消 $X_k$ のスタック的コンパactificationを ${\mathbb{Z}}_k$-gerbe として構成することにより、フレームド層の滑らかで準射影的であるモジュライ空間を定義し、次元および固定点を計算し、トーリックブローモー・フォーミュラを用いてインスタントン分配関数を導出する。主な結果は、Seiberg-Witten幾何とリーマン・シータ関数を用いた分配関数の新しい特徴付けであり、相関関数の明示的表現と分数インスタントン電荷の制約を含む。

ABSTRACT

We develop a new approach to the study of supersymmetric gauge theories on ALE spaces using the theory of framed sheaves on root toric stacks, which illuminates relations with gauge theories on $\mathbb{R}^4$ and with two-dimensional conformal field theory. We construct a stacky compactification of the minimal resolution $X_k$ of the $A_{k-1}$ toric singularity $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k$, which is a projective toric orbifold $\mathscr{X}_k$ such that $\mathscr{X}_k\setminus X_k$ is a $\mathbb{Z}_k$-gerbe. We construct moduli spaces of torsion free sheaves on $\mathscr{X}_k$ which are framed along the compactification gerbe. We prove that this moduli space is a smooth quasi-projective variety, compute its dimension, and classify its fixed points under the natural induced toric action. We use this construction to compute the partition functions and correlators of chiral BPS operators for $\mathcal{N}=2$ quiver gauge theories on $X_k$ with nontrivial holonomies at infinity. The partition functions are computed with and without couplings to bifundamental matter hypermultiplets and expressed in terms of toric blowup formulas, which relate them to the corresponding Nekrasov partition functions on the affine toric subsets of $X_k$. We compare our new partition functions with previous computations, explore their connections to the representation theory of affine Lie algebras, and find new constraints on fractional instanton charges in the coupling to fundamental matter. We show that the partition functions in the low energy limit are characterised by the Seiberg-Witten curves, and in some cases also by suitable blowup equations involving Riemann theta-functions on the Seiberg-Witten curve with characteristics related to the nontrivial holonomies.

研究の動機と目的

• ALE空間上の超対称ゲージ理論を代数的スタックと層モジュライを用いて研究するための新しい幾何的枠組みを開発すること。
• ${\mathbb{C}}^2/{\mathbb{Z}}_k$ の最小解消 $X_k$ のスタック的コンパクト化を、無限遠点に ${\mathbb{Z}}_k$-gerbe を持つトーリックオビアールドとして構成すること。
• このコンパクト化スタック上のねじれ型のフレームド層のモジュライ空間を定義・研究し、滑らかさを証明し、次元および固定点を計算すること。
• $X_k$ 上のクウェイバー・ゲージ理論に対して、無限遠点における非自明なホールノミーを有するインスタントン分配関数およびBPS相関関数を計算すること。
• これらの分配関数を Seiberg-Witten理論、ブローモー方程式、およびアフィンリー代数の表現論に関連付けること。

提案手法

• ALE空間 $X_k$ のスタック的コンパクト化として、根トーリックスタック $\mathscr{X}_k$ を構成し、$\mathscr{X}_k \setminus X_k$ が ${\mathbb{Z}}_k$-gerbe であることを示すこと。
• コンパクト化除法に沿ったフレームド層のモジュライ空間を定義し、それが滑らかで準射影的代数的多様体であることを証明すること。
• $\mathscr{X}_k$ 上のトーラス作用を用いて、モジュライ空間の固定点を分類し、局所化によりオイラー類を計算すること。
• トーリックブローモー・フォーミュラを用いて、分配関数を $X_k$ のアフィントーリック部分集合上のNekrasov分配関数に関連付けること。
• 等置換積分を用いて、${\mathcal{N}}=2$、${\mathcal{N}}=2^*$、${\mathcal{N}}=4$ 理論およびファイアーマン・マターを含む理論の摂動的およびインスタントン分配関数を導出すること。
• 低エネルギー分配関数がSeiberg-Witten曲線によって特徴付けられ、非自明な無限遠点におけるホールノミーに関連する特性を持つリーマン・シータ関数を含むブローモー方程式を満たすことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フレームド層を用いた根スタックは、ALE空間上の超対称ゲージ理論の幾何的実現をどのように提供するか？
• RQ2 $A_{k-1}$ ALE空間のスタック的コンパクト化 $\mathscr{X}_k$ 上のフレームド層のモジュライ空間の構造は何か？
• RQ3 $X_k$ 上で無限遠点に非自明なホールノミーを持つゲージ理論の分配関数は、$X_k$ のアフィン部分集合上のNekrasov分配関数とどのように関係するか？
• RQ4 分配関数は、Seiberg-Witten幾何とアフィンリー代数の表現論のどの点をどのように表現するか？
• RQ5 ファイアーマン・マターが存在する場合、分配関数は分数インスタントン電荷にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 根トーリックスタック $\mathscr{X}_k$ 上のフレームド層のモジュライ空間は、次元 $2k$ の滑らかで準射影的代数的多様体である。
• トーリック作用における固定点は分類され、それらは無限遠点における特定のモノドロミー情報を持つフレームド層に対応する。
• ${\mathcal{N}}=2$ および ${\mathcal{N}}=2^*$ 理論の分配関数は、トーリックブローモー・フォーミュラを用いて計算され、フレームド層の寄与の和として表され、主要項は $\mathsf{q}^{1/3} + \cdots$ である。
• $X_3$ 上の $U(2)$ ゲージ理論に対して、分配関数の $\mathsf{q}^{2/3}$ 項は $\mathsf{q}^{2/3} \left( -\frac{1}{2a(2a+\varepsilon_1+\varepsilon_2)} - \frac{1}{(2a-3\varepsilon_2)(2a-\varepsilon_1-\varepsilon_2)} - \frac{1}{(2a-\varepsilon_1-\varepsilon_2)(2a+\varepsilon_1+\varepsilon_2)} \right) + \cdots$ として計算される。
• 低エネルギー分配関数はSeiberg-Witten曲線によって特徴付けられ、非自明なホールノミーに関連する特性を持つリーマン・シータ関数を含むブローモー方程式を満たす。