[論文レビュー] Toric Geometry and String Theory

Vincent Bouchard|ArXiv.org|Sep 18, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 111被引用数 9

ひとこと要約

本学位論文は、局所的カルラヤー幾何を記述するトーリックデータとしてのトップの分類を通じて、トーリック幾何と弦理論の間の対応関係を確立する。これにより、アフィン的およびねじれ型のカク・ムーディ代数と関連づけられ、コンpactificationにおけるランク削減型ゲージ群の実現が可能になる。さらに、幾何的遷移、チャーン・サイモンズ理論、局在化、トポロジカル・バーテックスを用いて、トーリックカルラヤー3次元多様体のオルオリエントールド上の閉および開トポロジカル弦振幅を計算し、三葉結び目などの結び目の明示的BPS不変量を導出する。

ABSTRACT

In this thesis we probe various interactions between toric geometry and string theory. First, the notion of a top was introduced by Candelas and Font as a useful tool to investigate string dualities. These objects torically encode the local geometry of a degeneration of an elliptic fibration. We classify all tops and give a prescription for assigning an affine, possibly twisted Kac-Moody algebra to any such top. Tops related to twisted Kac-Moody algebras can be used to construct string compactifications with reduced rank of the gauge group. Secondly, we compute all loop closed and open topological string amplitudes on orientifolds of toric Calabi-Yau threefolds, by using geometric transitions involving SO/Sp Chern-Simons theory, localization on the moduli space of holomorphic maps with involution, and the topological vertex. In particular, we count Klein bottles and projective planes with any number of handles in some Calabi-Yau orientifolds. We determine the BPS structure of the amplitudes, and illustrate our general results in various examples with and without D-branes. We also present an application of our results to the BPS structure of the coloured Kauffman polynomial of knots. This thesis is based on hep-th/0303218 (with H. Skarke), hep-th/0405083 and hep-th/0411227 (with B. Florea and M. Marino).

研究の動機と目的

• トーリック幾何におけるすべてのトップを分類し、それらをアフィン的またはねじれ型のカク・ムーディ代数と関連づけ、ランク削減型ゲージ群を持つコンパクト化を探索する。
• 幾何的遷移と局在化を用いて、トーリックカルラヤー3次元多様体のオルオリエントールド上の閉および開トポロジカル弦振幅を計算する。
• ケーラーパラメータおよびゲージ群の型（SO/Sp）を用いて、トポロジカル弦振幅の生成関数を明示的に導出する。
• 振幅のBPS構造を特定し、結果を結び目の不変量、特にカラーリングされたカウフマン多項式に応用する。
• トポロジカル・バーテックスおよびチャーン・サイモンズ理論を介して、トーリック幾何、弦理論における双対性、トポロジカル不変量を系統立てて結びつけるフレームワークを提供する。

提案手法

• 格子多面体とその双対を用いてすべてのトップを分類し、ねじれ型カク・ムーディ代数に対応するものを同定する。
• 幾何的遷移を用いて、オルオリエントールドされたカルラヤー3次元多様体とラグラジアンブレーン上のチャーン・サイモンズ理論を関連付ける。
• 非可換局在化技術を適用して、クロスキャップおよびさまざまな genus の実射影平面（RP²）を含む振幅を計算する。
• トポロジカル・バーテックス形式を用いて、オルオリエントールド上の閉および開弦振幅の生成関数を計算する。
• 古典的ゲージ群（SO/Sp）を用いたチャーン・サイモンズ理論を活用し、双対写像を通じて閉弦振幅を導出する。
• ケーラーモジュライの展開を行い、種数および次数ごとの寄与を同定することで、振幅からBPS不変量を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック幾何におけるどのトップがねじれ型カク・ムーディ代数に対応し、それらが弦コンパクト化におけるランク削減型ゲージ群をどのように導くか？
• RQ2 幾何的遷移と局在化を用いて、トーリックカルラヤー3次元多様体のオルオリエントールド上の閉および開トポロジカル弦振幅をどのように計算できるか？
• RQ3 振幅のBPS構造は何か？また、カラーリングされたカウフマン多項式のような結び目の不変量とどのように関係するか？
• RQ4 トポロジカル・バーテックスとチャーン・サイモンズ理論は、オルオリエントールド振幅の生成関数をどのように組み合わせて計算するか？
• RQ5 オルオリエントールドの反図変換は、正則写像のモジュライ空間およびそれらに由来する振幅をどのように変更するか？

主な発見

• 本論文は、すべてのトップを分類し、ねじれ型カク・ムーディ代数に対応するものと特定し、ランク削減型ゲージ群を持つ弦コンパクト化を可能にする。
• e⁻ᵗ の3次まで、閉トポロジカル弦振幅の明示的生成関数が計算され、SOおよびSpゲージ群の両方について結果が提示されている。
• BPS不変量にエンコードされた、最大9本のハンドルを持つクラインボトルおよび射影平面からの寄与が含まれている。
• 三葉結び目のBPS不変量は、3つの箱を持つ表現（3）、（2,1）、（1,1,1）で計算されており、非自明な種数および次数依存性を示している。
• 三葉結び目の結果は豊富な構造を示しており、例えば、Nc=1(3),g=0,β=2 = 18 および Nc=1(3),g=1,β=2 = 21 であり、小さいβに対して高種数で不変量が消える。
• Q=0における向き付けられた寄与の生成関数は、無限大における1つのケーラーパラメータを持つ局所的デル・ペッツォdP3について既知の結果と一致する。