[論文レビュー] Free 3-distributions: holonomy, Fefferman constructions and dual distributions

Stuart Armstrong|ArXiv.org|Aug 22, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、カルタン接続と放物幾何学を用いて6次元多様体上の自由3分布を調査し、それぞれCR構造およびラグランジュ的接触構造に対応する、ホロノミーの還元 $SO(4,2)$ および $SO(3,3)$ に対する正規フェッファーマン構成を確立する。ホロノミーが $G_2'$ に還元される場合、接続 bundle を2つの同型な自由3分布に分解するウェイル構造を介して、新規の双対分布を構成する。

ABSTRACT

This paper analyses the parabolic geometries generated by a free 3-distribution in the tangent space of a manifold. It shows the existence of normal Fefferman constructions over CR and Lagrangian contact structures corresponding to holonomy reductions to SO(4,2) and SO(3,3), respectively. There is also a fascinating construction of a `dual' distribution when the holonomy reduces to $G_2'$. The paper concludes with some holonomy constructions for free $n$-distributions for $n>3$.

研究の動機と目的

• 自由3分布が誘導する放物幾何学をカルタン接続を用いて分析すること。
• ホロノミーの還元 $SO(4,2)$ および $SO(3,3)$ に対する正規フェッファーマン構成を確立すること。これらはそれぞれCR構造およびラグランジュ的接触構造に対応する。
• ホロノミーが $G_2'$ に還元される場合に、ウェイル構造によって接続 bundle を分解し、その結果として自然な双対分布を構成すること。
• 結果を高ランクの自由 $n$-分布（$n>3$）に拡張し、$p < n(n-1)/2$ に対してホロノミー代数が $\mathbb{R}^p$ に同型となることを示すこと。

提案手法

• 自由3分布に対して、$G/P = PSO(4,2)/P$ の均一モデルを用いる。ここで $G = PSO(4,2)$ かつ $P = GL(3) \rtimes \mathbb{R}^3 \rtimes \wedge^2\mathbb{R}^3$ である。
• 正規カルタン接続形式を適用し、接続が自由3分布 $H \subset TM$ によって一意に定まるようにする。
• ホロノミーの還元 $G_2'$ からウェイル構造 $\nabla$ を構成し、$T = T_{-2} \oplus H$ と分解する。このとき $H^\prime = T_{-2}$ が双対自由3分布となる。
• Tractor 接続 $\overrightarrow{\nabla}$ を $\overrightarrow{\nabla}_Z = Z + \nabla_Z$ として定義し、$\partial^*\kappa$ 項の消滅により正規性を示す。
• $X_1' = X_1 + y_{1|2}Y_{3|4}$ のように変更されたフレーム $\mathcal{F}$ を用いて、非自明な曲率 $\kappa$ を生成し、無限小ホロノミーを分析する。
• 無限小ホロノミー理論を適用し、ホロノミー代数が $Y_{3|4}$ で張られることを示し、$n > 3$ の場合に一般化して $\mathbb{R}^q$（$q = n(n-1)/2 - 3$）を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロノミーの還元 $SO(4,2)$ および $SO(3,3)$ を持つ自由3分布に対して、正規フェッファーマン構成を確立できるか？
• RQ2 ホロノミーが $G_2'$ に還元される場合、どのような幾何的構造が生じるのか？また、元の分布とはどのように関係するか？
• RQ3 ホロノミーが $G_2'$ に還元される場合、ウェイル構造から双対自由3分布をどのように構成できるか？
• RQ4 自由 $n$-分布（$n > 3$）に対して、どのようなホロノミー代数が実現可能か？
• RQ5 修正されたフレーム構造が存在する場合、Tractor 接続 $\overrightarrow{\nabla}$ が正規である条件は何か？

主な発見

• ホロノミーの還元 $SO(4,2)$ および $SO(3,3)$ を持つ自由3分布に対して、正規フェッファーマン構成が存在する。これらはそれぞれCR構造およびラグランジュ的接触構造に対応する。
• ホロノミーの還元 $G_2'$ に起因する双対自由3分布が、接続 bundle を $T = T_{-2} \oplus H$ に分解するウェイル構造を介して構成される。ここで $H^\prime = T_{-2}$ である。
• 双対分布に付随する Tractor 接続 $\overrightarrow{\nabla}$ は元の Tractor 接続と同型であり、両者とも正規である。
• $n > 3$ の場合、すべての $p < n(n-1)/2$ に対して、ホロノミー代数が $\mathbb{R}^p$ に同型となるものが存在し、修正されたフレーム場を用いて明示的に構成可能である。
• $X_1'$ および $X_2'$ が $y_{i|j}$ の多項式項を含むように修正された場合、Tractor 接続 $\overrightarrow{\nabla}$ の無限小ホロノミー代数は $\mathbb{R}^{n(n-1)/2 - 3}$ に同型である。
• 正規性は $\partial^*\kappa = 0$ を示すことにより検証され、曲率項は $Y_{j|k}$ のみを含み、$\partial^*$ 作用で消える。