[論文レビュー] A remark on conformal $\SU(p,q)$-holonomy

Felipe Leitner|ArXiv.org|Apr 18, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、符号 frac{(2p-1,2q-1)}{2p-1,2q-1} の単連結な共形多様体に対して、共形ホロノミー群が frac{ mathrm{U}(p,q)}{ mathrm{U}(p,q)} に含まれるならば、実際に frac{ mathrm{SU}(p,q)}{ mathrm{SU}(p,q)} に含まれることを証明する。この結果は、共形トレイクター微分幾何とスパーリングのフェッファーマン計量特徴付けの二つの異なる手法を用いて確立され、ホロノミー群の分類における異常ではなく、曲率正規化の結果として、 frac{ mathrm{U}(p,q)}{ mathrm{U}(p,q)} へのホロノミー群の還元が frac{ mathrm{SU}(p,q)}{ mathrm{SU}(p,q)} への還元を必然的に引き起こすことが示される。

ABSTRACT

If the conformal holonomy group $Hol(\mathcal{T})$ of a simply connected space with conformal structure of signature $(2p-1,2q-1)$ is reduced to $\U(p,q)$ then the conformal holonomy is already contained in the special unitary group $\SU(p,q)$. We present two different proofs of this statement, one using conformal tractor calculus and an alternative proof using Sparling's characterisation of Fefferman metrics.

研究の動機と目的

• 共形ホロノミー群の分類における潜在的なギャップを解消するため、 frac{ mathrm{U}(p,q)}{ mathrm{U}(p,q)}-還元されたホロノミーが frac{ mathrm{SU}(p,q)}{ mathrm{SU}(p,q)}-還元されたホロノミーを必然的に意味することを示す。
• ホロノミー群リストに frac{ mathrm{SU}(p,q)}{ mathrm{SU}(p,q)} が存在しないという見かけの欠落は、共形カルタン接続における正規化条件の結果であり、分類の異常ではないことを示す。
• このホロノミー還元を、共形トレイクター微分幾何とスパーリングのフェッファーマン計量特徴付けの両方を用いて、独立した二つの証明を与える。
• ホロノミー群が frac{ mathrm{U}(p,q)}{ mathrm{U}(p,q)} である共形構造に対して、局所的に可縮的CR空間のフェッファーマン計量に等長であるという局所的幾何的特徴付けを提供する。

提案手法

• 符号 frac{(2p-1,2q-1)}{(2p-1,2q-1)} の単連結多様体上の共形構造のホロノミー代数を、共形トレイクター微分幾何を用いて分析する。
• アンブローズ＝シンガーの定理を適用し、カノニカルカルタン接続の曲率とホロノミー代数を関連付ける。
• frac{\nabla^{\text{nor}}}{\nabla^{\text{nor}}} -平行な複素構造 frac{J}{J} の存在を活用し、光的（lightlike）な共形キリングベクトル場 frac{j = \Pi(J)}{j = \Pi(J)} を構成する。
• スパーリングによるフェッファーマン計量の特徴付けを用いて、 frac{j}{j} がキリング場であるような、元の計量と共形同値な計量 frac{f}{f} が存在し、それが局所的にフェッファーマン計量に等長であることを示す。
• フェッファーマン計量が共形キリングスピン接続をもつという既知の事実を用いて、共形カルタン接続の曲率が frac{\mathfrak{su}(p,q)}{\mathfrak{su}(p,q)} に値をとることを確立する。
• 結論として、共形ホロノミー代数 frac{\mathfrak{hol}(\mathcal{T})}{\mathfrak{hol}(\mathcal{T})} は frac{\mathfrak{su}(p,q)}{\mathfrak{su}(p,q)} に含まれ、したがってホロノミー群は frac{\mathrm{SU}(p,q)}{\mathrm{SU}(p,q)} に含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号 frac{(2p-1,2q-1)}{(2p-1,2q-1)} の多様体に対して、共形ホロノミー群が frac{\mathrm{U}(p,q)}{\mathrm{U}(p,q)} に還元されるならば、それは必然的に frac{\mathrm{SU}(p,q)}{\mathrm{SU}(p,q)} に還元されるのであろうか？
• RQ2 ホロノミー群リストから frac{\mathrm{SU}(p,q)}{\mathrm{SU}(p,q)} が欠落しているという見かけの事実は、幾何的制約や曲率正規化条件によって説明可能であろうか？
• RQ3 ホロノミー群が frac{\mathrm{U}(p,q)}{\mathrm{U}(p,q)} である共形構造に対して、それが局所的にフェッファーマン計量であることを確認する幾何的特徴付けが存在するであろうか？
• RQ4 スパーリングによるフェッファーマン計量の特徴付けを用いて、CR-トレイクター微分幾何に依存せずに、ホロノミー群が frac{\mathrm{SU}(p,q)}{\mathrm{SU}(p,q)} に還元されることを証明できるであろうか？
• RQ5 カノニカルカルタン接続の曲率における正規化条件は、曲率が frac{\mathfrak{u}(p,q)}{\mathfrak{u}(p,q)} に値をとる場合に、ホロノミー群が frac{\mathfrak{su}(p,q)}{\mathfrak{su}(p,q)} に含まれることを強制するのであろうか？

主な発見

• 符号 frac{(2p-1,2q-1)}{(2p-1,2q-1)} の単連結多様体の共形ホロノミー群 frac{\mathrm{Hol}(\mathcal{T})}{\mathrm{Hol}(\mathcal{T})} が frac{\mathrm{U}(p,q)}{\mathrm{U}(p,q)} に含まれるならば、それは必然的に frac{\mathrm{SU}(p,q)}{\mathrm{SU}(p,q)} に含まれる。
• ホロノミー代数 frac{\mathfrak{hol}(\mathcal{T})}{\mathfrak{hol}(\mathcal{T})} は frac{\mathfrak{su}(p,q)}{\mathfrak{su}(p,q)} に含まれており、これは共形曲率が複素トレースを持たないことを意味する。
• この結果は、ホロノミー群分類における異常ではなく、カルタン接続の曲率の正規化条件に起因する。
• スパーリングの特徴付けを用いることで、ホロノミー群が frac{\mathrm{U}(p,q)}{\mathrm{U}(p,q)} である共形構造は、可縮的CR空間のフェッファーマン計量に局所的に等長であることが示される。
• frac{\nabla^{\text{nor}}}{\nabla^{\text{nor}}} -平行な複素構造の存在から、光的共形キリングベクトル場が得られ、共形スケーリングを施すことで、その場が共形類内の計量のキリング場となる。
• 共形カルタン接続の曲率は frac{\mathfrak{su}(p,q)}{\mathfrak{su}(p,q)} に値をとり、ホロノミーが frac{\mathrm{SU}(p,q)}{\mathrm{SU}(p,q)} に還元されていることを確認する。