[論文レビュー] Free bosons and tau-functions for compact Riemann surfaces and closed smooth Jordan curves I. Current correlation functions

Leon A. Takhtajan|ArXiv.org|Feb 20, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、滑らかなコンpactリーマン面における自由ボソンの量子場理論と、複素平面上の閉じたジョルダン曲線との間で、両者においてパーティション関数として定義されるτ関数を用いて、きめ細やかな関係を確立する。g > 0の場合、τ関数は解析 torsion に一致する。g = 0の場合、それは曲線内部における擬測度の正則化エネルギーに対応する。主な貢献は、電流相関関数に対するWard恒等式を明示的に導出することであり、それらがボソン化理論および分散なしToda階層の既知の結果と同等であることを証明し、τ関数が面積固定の曲線の空間におけるヘルミート計量のケーラー潜在関数であることを示している。

ABSTRACT

We study families of quantum field theories of free bosons on a compact Riemann surface of genus g. For the case g > 0 these theories are parameterized by holomorphic line bundles of degree g-1, and for the case g=0 - by smooth closed Jordan curves on the complex plane. In both cases we define a notion of tau-function as a partition function of the theory and evaluate it explicitly. For the case g > 0 the tau-function is an analytic torsion [3], and for the case g=0 - the regularized energy of a certain natural pseudo-measure on the interior domain of a closed curve. For these cases we rigorously prove the Ward identities for the current correlation functions and determine them explicitly. For the case g > 0 these functions coincide with those obtained in [21,36] using bosonization. For the case g=0 the tau-function we have defined coincides with the tau-function introduced in [29,44,24] as a dispersionless limit of the Sato's tau-function for the two-dimensional Toda hierarchy. As a corollary of the Ward identities, we obtain recent results [44,24] on relations between conformal maps of exterior domains and tau-functions. For this case we also define a Hermitian metric on the space of all contours of given area. As another corollary of the Ward identities we prove that the introduced metric is Kahler and the logarithm of the tau-function is its Kahler potential.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面（genus g > 0）および複素平面上の閉じた滑らかなジョルダン曲線における自由ボソンの量子場理論に対して、τ関数をパーティション関数として定義し、その計算を行うこと。
• 両者の設定において、電流相関関数に対するきめ細やかなWard恒等式を確立し、随伴場理論および可積分系の既知の結果と結びつけること。
• τ関数の対数が、固定面積のジョルダン曲線の空間におけるヘルミート計量のケーラー潜在関数であることを示すこと。
• 特にg = 0の場合に、ボソン化および2次元Toda階層の分散なし極限に関する結果を統合・一般化すること。

提案手法

• 本稿は、g > 0の場合、次数g−1の正則線束を用い、g = 0の場合には等角写像を用いて、コンパクトリーマン面およびジョルダン曲線外部における自由ボソンの作用汎関数を採用する。
• τ関数をパーティション関数として定義し、g > 0では解析 torsion を用いて、g = 0では擬測度の正則化エネルギーを用いて明示的に計算する。
• U(1)-ゲージ対称性および電流演算子の作用積和展開を用いて、Ward恒等式を導出し、相関関数の微分方程式を得る。
• g = 0の場合、リーマン写像定理およびファーバー多項式展開を用い、相関関数を輪郭積分で表現する。
• 面積aの輪郭の空間における計量は、log τの2階微分から構成され、混合正則・反正則電流に対するWard恒等式を用いてそのケーラー性を証明する。
• 輪郭積分およびコーシーの公式を用いて、log τの2階微分を、全平面およびディリクレ境界における電流相関関数の差と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトリーマン面（genus g > 0）および複素平面上の閉じたジョルダン曲線における自由ボソンの量子場理論に対して、τ関数をきめ細やかにパーティション関数として定義する方法は何か？
• RQ2 両設定における電流相関関数の明示的形は何か？ そしてそれらはWard恒等式を満たすか？
• RQ3 g = 0におけるτ関数は、2次元Toda階層のSato τ関数の分散なし極限とどのように関係するか？
• RQ4 面積aのジョルダン曲線の空間におけるヘルミート計量はケーラー的であるか？ そしてlog τはそのケーラー潜在関数であるか？
• RQ5 Ward恒等式を用いて、log τの2階微分を電流相関関数の式として明示的に導出できるか？

主な発見

• g > 0の場合、τ関数は解析 torsion に同定され、ラプラシアンのスペクトル不変量を用いたパーティション関数の幾何的解釈が得られる。
• g = 0の場合、τ関数はジョルダン曲線内部における自然な擬測度の正則化エネルギーに一致し、随伴場理論および可積分系と結びつく。
• 正規化された還元2点電流相関関数は、G'(z)およびG'(w)を含む輪郭積分で表される、全平面とディリクレ境界の電流相関関数の差を表すWard恒等式を満たす。
• 2階混合微分 ∂²logτ/∂tₘ∂t̄ₙ は −1/(2πi)² ∫∫ [G’(z)Ḡ’(w)/(1−G(z)Ḡ(w))²] z^m w̄^n dz dŵ に等しく、これは相関関数の差と一致する。
• 面積aの輪郭の空間におけるヘルミート計量Hはケーラー的であることが証明され、log τはそのケーラー潜在関数である。これにより、曲線のモジュライ空間に深い幾何的構造が確立される。
• 明示的な積分公式が導出され、log[(G(z)−G(w))/(z−w)] および log[G(z)Ḡ(w)/(G(z)Ḡ(w)−1)] がそれぞれ ∂²logτ/∂tₘ∂tₙ および ∂²logτ/∂tₘ∂t̄ₙ の級数として表現されることを示している。