[論文レビュー] Free lattice ordered groups and the topology on the space of left orderings of a group

Adam Clay|ArXiv.org|Sep 1, 2009

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、自由格子順序群 $F(G)$ 内の準同型の核と、群 $G$ の左順序の空間 $LO(G)$ の位相との間で、新しい関係を確立する。この関係により、任意の左順序可能群が可算個の左順序を持ちえないことの新たな証明が得られる。さらに、自由群 $F_n$ に対して、$LO(F_n)$ 内で軌道が稠密である左順序が存在することを示し、$LO(F_n)$ に孤立点がなく、$F(F_n)$ に基本的要素がないことを示唆する。

ABSTRACT

For any left orderable group G, we recall from work of McCleary that isolated points in the space of left orderings correspond to basic elements in the free lattice ordered group over G. We then establish a new connection between the kernels of certain maps in the free lattice ordered group over G, and the topology on the space of left orderings of G. This connection yields a simple proof that no left orderable group has countably infinitely many left orderings. When we take G to be the free group of rank n, this connection sheds new light on the space of left orderings of the free group: by applying a result of Kopytov, we show that there exists a left ordering of the free group whose orbit is dense in the space of left orderings. From this, we obtain a new proof that the space of left orderings of a free group contains no isolated points.

研究の動機と目的

• 自由格子順序群の代数的構造と群の左順序の空間の位相的性質との間の関係を確立すること。
• 自由格子順序群 $F(G)$ 内の核解析を用いて、左順序可能群が可算個の左順序を持てないことを証明すること。
• コピトフの結果を用いて、自由群 $F_n$ に対して $LO(F_n)$ 内で稠密な軌道を持つ左順序の存在を示すこと。
• $LO(F_n)$ に孤立点がなく、同値に $F(F_n)$ に基本的要素がないことを示すこと。

提案手法

• McClary の結果を用い、$LO(G)$ の孤立点が自由格子順序群 $F(G)$ 内の基本的要素に対応することを用いる。
• 各正錐 $P \in LO(G)$ に対して、$F(G)$ から $\mathrm{Aut}(G, <_P)$ への自然な準同型の核を分析する。
• コピトフの結果を応用し、$F_n$ の左順序のうち、$F_n$ の作用で軌道が稠密であるものの構成を行う。
• 軌道の閉包基準を用いる：$P$ が $\mathrm{Orb}_G(P)$ の閉包に属さないならば、$\ker(\pi_P) \not\subset \ker(\pi_{P^{-1}})$ である。
• $LO(G) \subset 2^G$ に積位相を導入し、部分基底 $U_g = \{P \in LO(G) \mid g \in P\}$ を用いる。
• コンラディアン順序が局所指示可能群に対応することを応用し、凸部分群を用いて軌道の閉包を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\pi_P: F(G) \to \mathrm{Aut}(G, <_P)$ の準同型の核は、$P$ が $LO(G)$ で孤立点かどうかを特定するか？
• RQ2 $F(F_n)$ の代数的性質を用いて、$LO(F_n)$ 内に稠密な軌道が存在することを示せるか？
• RQ3 左順序可能群が可算個の左順序しか持てないことは可能か？
• RQ4 群 $G$ の作用の下で $LO(G)$ に稠密な軌道が存在する条件は何か？

主な発見

• 核解析を用いて、左順序可能群が可算個の左順序を持たないことが示された。
• 自由群 $F_n$ に対して、$LO(F_n)$ 内で稠密な軌道を持つ左順序が存在することが、コピトフの結果を用いて確立された。
• $LO(F_n)$ に孤立点がなく、同値に $F(F_n)$ に基本的要素がないことが示された。
• $T_\infty$ は、任意の正錐の軌道の閉包と等しい左順序の空間 $LO(T_\infty)$ を持ち、したがって $LO(T_\infty)$ は最小かつ位相的転送的である。
• $n > 2$ のブレード群 $B_n$ に対しては、$LO(B_n)$ に孤立点があり、したがって稠密な軌道を含まない。これは一般基準と整合的である。
• すべての左順序がコンラディアンである有限生成群について、凸部分群の外側の元の共終性のため、$LO(G)$ に稠密な軌道は存在しない。