[論文レビュー] Free quasi-symmetric functions and descent algebras for wreath products, and noncommutative multi-symmetric functions

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、色付き置換とワループ積 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$ を用いて、自由準対称関数および非可換対称関数のレベル-$\ell$ 同型を導入する。ワループ積の一般化された降下代数を構成し、内部積を確立し、色付きパーキング関数および非交叉分割へと拡張する。主な貢献は、McMahon の多対称関数の非可換版であり、Poirier の準対称関数の双対構造と、可換像を通じて通常の多対称関数における内部積を有する。

ABSTRACT

We introduce analogs of the Hopf algebra of Free quasi-symmetric functions with bases labelled by colored permutations. When the color set is a semigroup, an internal product can be introduced. This leads to the construction of generalized descent algebras associated with wreath products $Γ\wr\SG_n$ and to the corresponding generalizations of quasi-symmetric functions. The associated Hopf algebras appear as natural analogs of McMahon's multisymmetric functions. As a consequence, we obtain an internal product on ordinary multi-symmetric functions. We extend these constructions to Hopf algebras of colored parking functions, colored non-crossing partitions and parking functions of type B.

研究の動機と目的

• 色付き置換とワループ積 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$ を用いて、McMahon の多対称関数の非可換版を構築すること。
• レベル-$\ell$ 自由準対称関数を用いてワループ積の一般化された降下代数を構成し、その内部積構造を確立すること。
• 理論を色付きパーキング関数、タイプ $B$ の非交叉分割、および平面二分木へと拡張し、新たな代数的・組合せ論的構造を明らかにすること。
• レベル-$\ell$ の構成の可換像を通じて、通常の多対称関数における非可換内部積を導出すること。

提案手法

• 色付き置換で添字づけられた基底を有するホップ代数 ${\bf FQSym}^{(\ell)}$ を導入し、標準的な ${\bf FQSym}$ を一般化する。
• ${\bf FQSym}^{(\ell)}$ のホップ部分代数として ${\bf Sym}^{(\ell)}$ を構成し、Poirier の準対称関数と双対となる。
• 色付きシフト作用と分岐構造を用いて、${\bf Sym}^{(\ell)}$ に内部積を定義し、Solomon の降下代数を一般化する。
• カウチの公式を適用して、Mantaci-Reutenauer代数 ${\rm MR}^{(\ell)}$ の双対を計算し、その内部積を導出する。
• 色付きパーキング関数のホップ代数 ${\bf PQSym}^{(\ell)}$ を導入し、その双分岐／三重分岐構造を確立する。
• 非可換ラグランジュの逆変換と色付き木の数え上げを用いて、Raney の関数方程式を組合せ論的に解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由準対称関数のホップ代数は、どのように色付き置換を用いてワループ積の対称性をモデル化するように一般化できるか？
• RQ2 非可換対称関数のレベル-$\ell$ 一般化において、どのような内部積構造が生じるのか。また、$\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$ の降下代数とどのように関係するか？
• RQ3 多対称関数の構成を、内部積を有する非可換設定へと持ち上げることは可能か？
• RQ4 色付きパーキング関数およびタイプ $B$ の非交叉分割は、どのようにレベル-$\ell$ ホップ代数の枠組みに適合するか？
• RQ5 非可換ラグランジュの逆変換の文脈において、色付き木と関連して Raney の関数方程式の組合せ論的解釈は何か？

主な発見

• 基底が $\ell$-色付き置換で添字づけられたホップ代数 ${\bf FQSym}^{(\ell)}$ が構成され、色の集合が半群であるとき、内部積を有する。
• ${\bf Sym}^{(\ell)}$ は $\ell$ 個の ${\bf Sym}$ の自由積に同型であり、Poirier の準対称関数と双対となる。
• ${\bf Sym}^{(\ell)}$ の同次成分は内部積を有し、ワループ積 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$ の Solomon の降下代数を一般化する。
• ${\bf Sym}^{(\ell)}$ の可換像は、通常の多対称関数における内部積を導出し、McMahon の構成を拡張する。
• Mantaci-Reutenauer代数 ${\rm MR}^{(\ell)}$ は ${\bf Sym}^{(\ell)}$ のホップ部分代数として現れ、カウチの公式を用いてその双対が計算される。
• 色付きパーキング関数のホップ代数 ${\bf PQSym}^{(\ell)}$ は双分岐／三重分岐構造を有し、非可換ラグランジュの逆変換公式を支持する。