[論文レビュー] Frobenius pairs in abelian categories: correspondences with cotorsion pairs, exact model categories, and Auslander-Buchweitz contexts

Víctor Becerril, Octavio Mendoza+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アーベル圏におけるフォーベニウス対、相対コトルーション対、正確なモデル構造、およびアウスランダー＝ブーチャーの文脈の間の包括的な対応関係を確立する。左および右フォーベニウス対を導入し、ホーヴェー＝ギリアップ対応を用いて、これらの対から射影的および投射的正確なモデル構造を構成する。また、強いフォーベニウス対が、十分に射影的または投射的なアーベル圏における完全で、遺伝的かつ完全なコトルーション対と一対一に対応することを証明する。

ABSTRACT

In this work, we revisit Auslander-Buchweitz Approximation Theory and find some relations with cotorsion pairs and model category structures. From the notions of relatives generators and cogenerators in Approximation Theory, we introduce the concept of left Frobenius pairs $(\mathcal{X},ω)$ in an abelian category $\mathcal{C}$. We show how to construct from $(\mathcal{X},ω)$ a projective exact model structure on $\mathcal{X}^\wedge$, as a result of Hovey-Gillespie Correspondence applied to two compatible and complete cotorsion pairs in $\mathcal{X}^\wedge$. These pairs can be regarded as examples of what we call cotorsion pairs relative to a thick subcategory of $\mathcal{C}$. We establish some correspondences between Frobenius pairs, relative cotorsion pairs, exact model structures and Auslander-Buchweitz contexts. Finally, some applications of these results are given in the context of Gorenstein homological algebra by generalizing some existing model structures on the categories of modules over Gorenstein and Ding-Chen rings, and by encoding the stable module category of a ring as a certain homotopy category. We also present some connections with perfect cotorsion pairs, covering classes, and cotilting modules.

研究の動機と目的

• フォーベニウス対の概念をアーベル圏に導入することで、アウスランダー＝ブーチャー近似理論を一般化すること。
• フォーベニウス対、相対コトルーション対、および正確なモデル構造の間の対応関係を確立すること。
• フォーベニウス対を用いて、ゴレンシュタインおよびディング＝チェン加群上の既存のモデル構造を拡張すること。
• 共通の枠組みを通じて、ゴレンシュタインホモロジー代数、ホモトピー論、およびコチルティング理論からの結果を統一的かつ一般化すること。
• 強いフォーベニウス対が、十分に射影的または投射的なアーベル圏における完全で、遺伝的かつ完全なコトルーション対と一対一に対応することを示すこと。

提案手法

• アーベル圏 $\mathcal{C}$ における左および右フォーベニウス対 $(\mathcal{X}, \omega)$ を導入し、$\mathcal{X}$ が解決可能クラスであり、$\omega$ が有限な射影的次元を持つ相対的生成元であると仮定する。
• $\mathcal{X}^\wedge$ を $\mathcal{X}$ に関する有限分解次元を持つ対象の部分圏と定義し、これが厚い（thick）であることを示す。
• 相対ホモロジー次元と相対的生成元・余生成元の概念を用いて、$\mathcal{X}^\wedge$ における二つの互いに適合し、完全なコトルーション対を構成する。
• ホーヴェー＝ギリアップ対応を適用し、二つのコトルーション対から $\mathcal{X}^\wedge$ 上の正確なモデル構造を導出する。
• 十分に射影的な圏における強力な左フォーベニウス対と $\mathcal{X}^\wedge$ 上の射影的 AB モデル構造との間の一対一対応を確立する。
• 右フォーベニウス対の構成を双対化し、十分に投射的な圏における投射的 AB モデル構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォーベニウス対は、アーベル圏における厚い部分圏に関する相対コトルーション対とどのように関係するか？
• RQ2 フォーベニウス対が $\mathcal{X}^\wedge$ で完全かつ適合する二つのコトルーション対を誘導するための条件は何か？
• RQ3 ホーヴェー＝ギリアップ対応をフォーベニウス対から正確なモデル構造を構成するために適用可能か？
• RQ4 強いフォーベニウス対と完全で、遺伝的かつ完全なコトルーション対との正確な対応関係は何か？
• RQ5 フォーベニウス対を用いて、ゴレンシュタインホモロジー代数における既存のモデル構造をどのように一般化できるか？

主な発見

• 強い左フォーベニウス対 $(\mathcal{X}, \omega)$ は、$\mathcal{X}^\wedge$ 上に射影的正確なモデル構造を誘導し、そのホモトピー圏は $\mathcal{X}$ を $\omega$ で割った安定圏と同値である。
• 強力な左フォーベニウス対と、$\mathcal{C}$ において完全で、遺伝的かつ完全なコトルーション対 $(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ の間には一対一対応がある。ただし、$\mathcal{F} \cap \mathcal{G} = \mathsf{Proj}(\mathcal{C})$ かつ $\mathsf{id}_{\mathcal{F}}(\mathcal{G}) = 0$ を満たすものとする。
• この対応は、写像 $\Phi: (\mathcal{X}, \omega) \mapsto (\mathcal{X}, \omega^\wedge)$ と $\Psi: (\mathcal{F}, \mathcal{G}) \mapsto (\mathcal{F}, \mathcal{F} \cap \mathcal{G})$ を通じて確立され、互いに逆写像である。
• この構成は、ゴレンシュタインおよびディング＝チェン環上のモジュールにおける既知のモデル構造を一般化し、それらをフォーベニウス対から生じる AB モデル構造として表現する。
• 環の安定モジュール圏は、AB モデル構造のホモトピー圏として実現され、相対的ゴレンシュタイン射影的モジュールのホモトピー的解釈が得られる。
• 右フォーベニウス対に対する双対理論により、十分に投射的なアーベル圏における投射的 AB モデル構造が得られ、類似の対応関係が成り立つ。