[論文レビュー] From Derrida's random energy model to branching random walks: from 1 to 3

Nicola Kistler, Marius A. Schmidt|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、α ∈ [0,1] でパラメータ化された階層的相関構造を有するガウス場の極値的挙動を研究している。この場は、Derridaのランダムエネルギー模型（REM、α=0）と分岐ランダムウォーク（BRW、α=1）の間を補間する。すべての α < 1 に対して、極値過程の極限が強収束して、強度測度 e^{-β_c x}dx / √(2π) のポアソン点過程に収束することが示された。ここで β_c = √(2 log 2) である。これは、α が増加するに従い相関が高まるにもかかわらず、極値が REM普遍性クラスにとどまるということを示している。

ABSTRACT

We study the extremes of a class of Gaussian fields with in-built hierarchical structure. The number of scales in the underlying trees depends on a parameter alpha in [0,1]: choosing alpha=0 yields the random energy model by Derrida (REM), whereas alpha=1 corresponds to the branching random walk (BRW). When the parameter alpha increases, the level of the maximum of the field decreases smoothly from the REM- to the BRW-value. However, as long as alpha&lt;1 strictly, the limiting extremal process is always Poissonian.

研究の動機と目的

• 相関構造を持つ階層的木構造を有するガウス場の極値挙動を理解すること。
• 相関構造が非相関（REM）から高相関（BRW）に移行する際、極値過程がどのように変化するかを分析すること。
• 中間的な相関レベル（α ∈ [0,1)）における最大値および極値過程の極限分布を特徴づけること。
• BRWの場合（α=1）がなぜ例外となるかを明確にすること。この場合、極値過程はポアソン分布に収束しない。
• 相関が増加するにもかかわらず、すべての α < 1 において極値過程が普遍的なポアソン極限に収束することを確立すること。

提案手法

• 各レベルで独立なガウス増分（分散 N^{1−α}）を用いて、N^α 段階と 2^N 種類の配置を持つ階層的木構造上にガウス場 X^(α,N) を構成する。
• 各配置のエネルギーをそのパスに沿ったガウス増分の和として定義し、共分散 cov(X_σ, X_τ) = (σ ∧ τ) N^{1−α} を得る。ここで σ ∧ τ は重なりレベルを表す。
• 極値フラクチュエーションを研究するため、再中心化列 a_N^(α) = β_c N − (1+2α)/(2β_c) log N を用いる。ここで β_c = √(2 log 2) である。
• 弱収束の技法を用いて、再中心化された経験測度 Ξ_N^(α) = ∑_σ δ_{X_σ^(α,N) − a_N^(α)} がポアソン点過程に弱収束することを示す。
• 離散的および連続的ブラウンブリッジの性質（周期的対称性、単調性）を活用し、ブリッジがゼロ以下にとどまる確率、または小さな ε 以下にとどまる確率を制御する。
• 帰納法とガウス尾部推定を用いて、ブリッジが 0 より下で初めて通過する確率と ε より下で初めて通過する確率の差を評価し、|ε|/n のオーダーで減少することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N → ∞ のとき、階層的ガウス場の極値過程は α ∈ [0,1) に対してどのように振る舞うか？
• RQ2 REM（α=0）から BRW（α=1）への遷移は、極限の極値統計に連続的な変化をもたらすか？
• RQ3 相関が増加するにもかかわらず、なぜすべての α < 1 において極値過程がポアソン的ままであるのか？
• RQ4 BRWの場合（α=1）は、極値極限において他の場合と何が異なるのか？
• RQ5 長さ n の離散ブラウンブリッジがレベル ε 以下にとどまる確率は、ε と N に関して一様に制御可能か？

主な発見

• すべての α ∈ [0,1) に対して、階層的ガウス場の極値過程は強度測度 e^{-β_c x}dx / √(2π) のポアソン点過程に弱収束する。ここで β_c = √(2 log 2) である。
• 再中心化列 a_N^(α) = β_c N − (1+2α)/(2β_c) log N は、REM と BRW の値の間を滑らかに補間する。係数 (1+2α) は、α が増加するに従い最大値レベルが連続的に低下することを説明する。
• α が増加するに従い相関が高まるにもかかわらず、すべての α < 1 において極値過程の極限はポアソン的であり、これは REM 普遍性クラスがこの領域でも維持されることを示している。
• BRW の場合（α=1）は例外である：極値過程の極限はポアソン的ではなく、最大値も Gumbel 分布に収束しない。
• 長さ n の離散ブラウンブリッジがゼロ以下にとどまる確率は漸近的に 1/n のオーダーであり、この振る舞いは障害壁を ε だけシフトさせても安定しており、差は c|ε|/n で有界である。
• 主な技術的ステップは、帰納法とマルコフ性の性質を用いて、障害壁が 0 と ε の場合のブリッジが障害壁に違反する確率が近いことを示すことである。ガウス尾部推定を用いる。