[論文レビュー] From Directed Polymers in Spatial-correlated Environment to Stochastic Heat Equations Driven by Fractional Noise in 1 + 1 Dimensions

Guanglin Rang|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1+1次元における長距離相関を持つランダム環境下の指向的高分子のスケーリングされた分配関数が、分数 Browm運動によって駆動される確率的熱方程式の解に弱収束することを確立する。環境の空間的相関が代数的減衰を示す場合、極限方程式の分数Hurst指数は相関指数と一致し、多次元 Itô 積分と定常場のスペクトル解析を用いて導出される。

ABSTRACT

We consider the limit behavior of partition function of directed polymers in random environment represented by linear model instead of a family of i.i.d.variables in $1+1$ dimensions. Under the assumption that the correlation decays algebraically, using the method developed in [Ann. Probab., 42(3):1212-1256, 2014], under a new scaling we show the scaled partition function as a process defined on $[0,1] imes\RR$, converges weakly to the solution to some stochastic heat equations driven by fractional Brownian field. The Hurst parameter is determined by the correlation exponent of the random environment. Here multiple Itô integral with respect to fractional Gaussian field and spectral representation of stationary process are heavily involved.

研究の動機と目的

• 空間的相関を持つランダム環境下での指向的高分子の長時間極限挙動を研究すること。
• スケーリングされた分配関数が分数ノイズによって駆動される確率的熱方程式（SHE）の解に弱収束することを確立すること。
• 極限ノイズの分数Hurst指数が環境の相関指数の関数として特定されることを同定すること。
• 非 i.i.d. ランダム環境に対して、スペクトル表現および多次元 Itô 積分技術を発展・適用すること。
• 従来の i.i.d. 環境からの結果を、1+1次元における長距離相関設定に拡張すること。

提案手法

• 標準的な指数形式ではなく、線形化モデルを分配関数に用いることで解析的取り扱いを可能にする。
• Ann. Probab. 42(3):1212–1256 (2014) の手法を用い、長距離相関を持つ非 i.i.d. 環境を扱う。
• 指向的高分子の混沌乱拡張を表すために、分数ガウス場に関する多次元 Itô 積分を用いる。
• 環境の相関構造を分析するために、定常ランダム場のスペクトル表現を活用する。
• 時空におけるプロセスの弱収束を証明するために、Kolmogorov のタイトネス基準を適用する。
• フーリエ解析および局所中心極限定理を用いて、分配関数の時空間差分のモーメントを推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム環境における長距離空間的相関が、指向的高分子分配関数のスケーリング極限にどのように影響を与えるか？
• RQ2 スケーリングされた分配関数の弱極限として現れる確率的熱方程式の正確な形は何か？
• RQ3 極限ノイズのHurst指数は、環境の相関指数とどのように関係しているか？
• RQ4 多次元 Itô 積分およびスペクトル手法を用いて、非 i.i.d. 環境に対しても収束結果を確立できるか？
• RQ5 環境のどのモーメント条件のもとで、極限プロセスが存在し、タイトネスを満たすか？

主な発見

• スケーリングされた分配関数は、1+1次元における分数 Browm 運動によって駆動される確率的熱方程式の解に弱収束する。
• 極限ノイズのHurst指数Hは、空間的相関環境の相関指数に等しい。
• 収束は、単純対称ランダムウォークの遷移確率の多次元 Itô 積分を用いた混沌乱展開を通じて確立される。
• 極限プロセスは Hölder 型のモーメントバインドを満たす：E|z_n(t,x)−z_n(s,y)|^{2q} ≤ C_ε(|t−s|^{Hq} + |x−y|^{ιq}) あるι < H および q > 1 に対して成り立つ。
• 環境の2q次モーメントが q > 2/H に対して有限であるという仮定の下で、C([ε,1], ℝ) 内のプロセス {z_n} のタイトネスが証明された。
• 従来の i.i.d. 環境に関する結果を、ノイズ構造が分数 Browm 運動によって支配される長距離空間相関の設定に一般化した。