[論文レビュー] From global class field concepts and modular representations to the conjectures of Shimura-Taniyama-Weil,Birch-Swinnerton-Dyer and Riemann

Christian Pierre|ArXiv.org|Aug 3, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実数上での切り捨てフーリエ級数としてのグローバル楕円双半モジュールを用いたカスプ形式のモジュラー表現を提案する。これは2次元グローバルラングランズ対応に関連し、ボレル部分群内の共轭類を通じてヘッケ固有値とフロベニウス固有値の対応を確立する。また、志村＝田島＝ヴェイル予想から、有理数体上での楕円曲線の階数がそのL関数のs=1における零点の位数に等しいことを示し、ベイツ＝シュインバートン＝ダイヤー予想を導出する。

ABSTRACT

Based upon new global class field concepts leading to Langlands two-dimensional global correspondences,a modular representation of cusp forms is proposed in terms of global elliptic (bisemi)modules which are (truncated) Fourier series over R.As application,the conjectures of Shimura-Taniyama-Weil,Birch-Swinnerton-Dyer and Riemann are analyzed.

研究の動機と目的

• グローバル数体kの代数的拡張としての対称分割半体F̃LおよびF̃Rを用い、実数上での切り捨てフーリエ級数としてカスプ形式のモジュラー表現を構築すること。
• GL₂のボレル部分群内の共轭類を通じて2次元グローバルラングランズ対応を確立すること。
• グローバル・ウェイル＝デリーニュ群の表現を通じて、ヘッケ固有値とフロベニウス固有値を結びつけること。
• 対称半体およびヘッケ双格子を用いて、ベイツ＝シュインバートン＝ダイヤー予想と志村＝田島＝ヴェイル予想を分析すること。
• 楕円曲線E(ℚ)の階数が、そのL関数がs=1で零になる位数に等しく、半単純表現を通じて生成点の数と関連することを示すこと。

提案手法

• 対称分割半体F̃LおよびF̃Rを、実および複素完備化が拡張次数によって特徴づけられる、数体kの代数的拡張として導入する。
• 無限素点を、[F̃v⁺:k] ≃ fv·N = n·N として定義する。ここでfv = nはグローバル類残差次数、Nは既約代数的拡張の次数である。
• 右および左の半モジュールT₂(F̃⁺v)およびT̃₂(F̃⁺v̄)を用い、GL₂(F⁺R × F⁺L)をテンソル積として構成し、次元2²の表現空間を形成する。
• 右および左のヘッケ作用素TH(N)R ⊗ TH(N)Lおよび上三角／下三角コセット代表元を用いたU作用素を用い、双半モジュールの自己準同型環を生成する。
• 固有値λ±(q²N, b²N) = [1 + b²N + q²N ± √((1 + b²N + q²N)² - 4q²N)]/2 を持つ、擬的に分岐した半単純表現ρλ±: Gal(F̃⁺v̄/k) × Gal(F̃⁺v/k) → GL₂(TH(N)R ⊗ TH(N)L) を導出する。
• 自然な全射S: {Ef(n₉)}ₙ₉ → E(ℚ) を確立し、楕円曲線を半群作用における既約曲線の軌道空間と特定する。ここでrank(E(ℚ)) = Ngである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カスプ形式は、実数上での切り捨てフーリエ級数としてのグローバル楕円双半モジュールを用いて、どのようにモジュラーに表現可能か？
• RQ2 グローバルラングランズ対応の文脈において、ヘッケ固有値とフロベニウス固有値の正確な対応関係は何か？
• RQ3 L関数Lⁿʳᴿ,ᴸ(s, E(ℚ))のs=1における零点の位数は、E(ℚ)の階数とどのように関係するか？
• RQ4 半モジュール分解および表現論を用いて、ベイツ＝シュインバートン＝ダイヤー予想を志村＝田島＝ヴェイル予想から導出可能か？
• RQ5 制限された素点の数Ngが、E(ℚ)の階数およびL関数の構造を決定する役割を果たすか？

主な発見

• 有理数体上での楕円曲線E(ℚ)の階数r(E(ℚ))は、実半体F⁺R,Lの制限された素点の数Ngに等しく、これはLⁿʳᴿ,ᴸ(s, E(ℚ))がs=1で零になる位数に対応する。
• カツの結果により、s → 2−sへの関数等式が成立するため、L-series Lⁿʳᴿ,ᴸ(s, E(ℚ))はs=1で正則である。
• Lⁿʳᴿ,ᴸ(s, E(ℚ))の非自明な零点はRe(s) = 1上にあり、自明な零点と一対一対応する。各整数ngは1組の非自明な零点に対応する。
• 表現ρλ±(q²N, b²N)のトレースは1 + b²N + q²N、行列式はq²Nであり、固有値はλ₊λ₋ = q²Nを満たす。
• 楕円曲線E(ℚ)は、半群T²t(F⁺,T,nr v̄g) × T²(F⁺,T,nr vg)の作用における集合{Ef(n₉)}ₙ₉の軌道空間と特定され、Ng個の生成点を持つ。
• 階数rE(ℚ)は、各ngに対するmₙgの直和として与えられ、ここでmₙg ≥ 1は、モジュラー表現における半円T¹R[ng, mₙg]およびT¹L[ng, mₙg]の積の数である。