[論文レビュー] n-Dimensional global correspondences of Langlands

Christian Pierre|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、代数的群のトロイダルコンパクト化と対称双線形半群を用いて、数体上のGL(n)に対してn次元のグローバルな双線形対応を構成することにより、ラングランズプログラムに対する画期的なグローバルなアプローチを提案する。調和解析を用いたコンパクト化された共役類上の解析により、n次元のワイエル＝デリーニュ表現とカスプ形式的自動表現の間の既約および可約な対応関係を確立し、双対な左および右半対象を持つ代数的対称構造を生じさせる。

ABSTRACT

the program of Langlands is studied here on the basis of: a)new concepts of global class field theory related to the explicit construction of global class fields and of reciprocity laws; b)the representations of the reductive algebraic groups GL(n) constituting the n-dimensional representations of the associated global Weil groups; c)a toroidal compactification of the conjugacy classes of these reductive algebraic groups whose analytic representations constitute the cuspidal representations of these groups GL(n) in the context of harmonic analysis. This leads us to build two types of n-dimensional global bilinear correspondences of Langlands by taking into account the irreducibility or the reducibility of the representations of the considered bilinear algebraic semigroups. The major outcome of this global approach is the generation of general algebraic symmetric structures, consisting of double symmetric towers of conjugacy class representatives of algebraic groups,so that the analytic toroidal representations of these conjugacy classes are the cuspidal conjugacy class representatives of these bilinear algebraic semigroups.

研究の動機と目的

• 局所的p進および関数体の場合を越えて、ラングランズプログラムのグローバルな枠組みを構築すること。
• 対称双線形構造を通じて代数的数論、表現論、調和解析を統合すること。
• GL(n) のn次元ワイエル＝デリーニュ表現とカスプ形式的自動表現の間のグローバル対応を構築すること。
• 共役類代表元の二重塔を通じて、新たなクラスの代数的対称構造を導入すること。
• コンパクト化を通じて、解析的トロイダル表現とカスプ共役類表現の間の対応を確立すること。

提案手法

• 右および左の対称半群の積として得られる、グローバルな双線形代数的半群 G^(n)(F̃_ω̄ × F̃_ω) を導入する。
• GL(n) の共役類のトロイダルコンパクト化を構築し、調和解析を用いてカスプ表現をモデル化する。
• 二項演算 × およびクロス積 (g_r × g_L) を用いて、新しい要素を生成する双線形半群構造を定義する。
• 対称性をモデル化するため、双対な右成分 E_R および左成分 E_L に分解された自己準同型 E_R ≃ E_L^(-1) を用いる。
• ボレル＝セルのトロイダルコンパクト化をラティス二重半空間 X̄_S_{R×L} に適用し、境界 ∂X̄_S_{R×L} を研究する。
• 半群内の同値類を定義するために、双線形正規部分群 P^(n)(F_ω¹ × F_ω̄¹) を法とする合同関係を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、対称双線形構造を用いて数体上でのラングランズプログラムにおけるグローバル対応を構築できるか？
• RQ2 共役類のトロイダルコンパクト化は、カスプ形式的自動表現を実現するために果たす役割は何か？
• RQ3 GL(n) の既約および可約表現は、どのようにして異なるグローバルな双線形対応を生じさせるか？
• RQ4 双対な左および右半対象 E_L および E_R は、対称代数的対象の内部構造をどのように符号化するか？
• RQ5 コンパクト化されたラティス二重半空間の境界成分 ∂X̄_S_{R×L} は、グローバル対応にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿では、GL(n) の構造に基づき、既約表現用と可約表現用の2種類のn次元グローバル双線形対応を構築した。
• 共役類のトロイダルコンパクト化により、GL(n) 上のカスプ形式的自動形式に対応する解析的表現が得られた。
• コンパクト化空間上でのラングランズ対応を通じて、n次元のグローバルなワイエル＝デリーニュ表現が、超カスプ表現に対応することが示された。
• 代数的対称構造は、共役類代表元の二重塔から成り、解析的トロイダル表現はカスプ共役類表現そのものである。
• 双線形半群の自己準同型は、E_R ≃ E_L^(-1) を満たす双対な右および左成分に分解され、内部対称性が符号化されている。
• コンパクト化されたラティス二重半空間の境界 ∂X̄_S_{R×L} は、可約表現のグローバル対応をサポートし、内部領域を超えた理論の拡張を可能にした。