[論文レビュー] From Lie groupoids to resolutions of singularities. Applications to symplectic and Poisson resolutions

Camille Laurent-Gengoux|ArXiv.org|Oct 9, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティックリー群体を用いて、ポアソン多様体内のシンプレクティック葉の閉包のシンプレクティック解消を構成する微分幾何的技法を導入する。群体内のコイサイトロピック部分多様体に対してシンプレクティック削減を適用することで、多様体およびポアソン構造の特異性を同時に解消するシンプレクティック解消が得られ、スプリンガー解消やクラスカルト特異点の最小解消といった構成を一般化する。

ABSTRACT

We use the techniques of integration of Poisson manifolds into symplectic Lie groupoids to build symplectic resolutions (= desingularizations) of the closure of a symplectic leaf. More generally, we show how Lie groupoids can be used to lift singularities, in particular when one imposes a compatibility condition with an additional structure given by a multi-vector field.

研究の動機と目的

• シンプレクティックリー群体を用いて、特異なポアソン構造と特異な代数的多様体の両方の正則化を統一すること。
• 代数幾何学を避けるが、ボヴィルの代数的解消に重要な特徴を保つ、シンプレクティック解消のための微分幾何的枠組みを構築すること。
• 多様なベクトル場（特にポアソンおよび接触構造を含む）と整合する解消への手続きの一般化。
• どのシンプレクティック解消がシンプレクティック群体の統合から生じるかを特徴づけること、特にポアソン多様体内のシンプレクティック葉に対して。
• クラシカルな例（例えば、クライン特異点や冪零軌道）に対して明示的な構成を与え、それらがシンプレクティック群体の削減と整合することを示すこと。

提案手法

• ポアソン多様体を統合する源単連結シンプレクティックリー群体を用い、シンプレクティック葉の閉包の幾何を引き上げる。
• シンプレクティック葉 $\mathcal{S}$ の閉包内に、$\mathcal{S}$ と横断的に交わるラグランジュ部分多様体 $L_k$ を特定する。
• 群体 $\Gamma \rightrightarrows M$ 内で $\Gamma_L = s^{-1}(L)$ を構成し、これはシンプレクティック群体内でコイサイトロピックである。
• 群体の作用を用いて $\Gamma_L$ に対してシンプレクティック削減を施し、シンプレクティック多様体 $\Sigma$ を得る。
• $\Gamma$ のターゲット写像 $t: \Gamma \to M$ が $\overline{\mathcal{S}}$ に倣ってポアソン写像 $\phi: \Sigma \to \overline{\mathcal{S}}$ に下方に降下することを示し、$\Sigma$ が $\overline{\mathcal{S}}$ のシンプレクティック解消であることを保証する。
• 群体の作用を用いて、開部分多様体 $U_k \subset \Sigma$ を $\tilde{L}_k \setminus \{O_k\}$ および $\{O_k\}$ の軌道として記述し、余接 bundle 内のパスに関する微分方程式によって解消構造を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックリー群体を用いて、ポアソン多様体内のシンプレクティック葉の閉包のシンプレクティック解消を構成できるか？
• RQ2 シンプレクティック群体内のコイサイトロピック部分多様体のシンプレクティック削減が、ポアソン構造と整合するシンプレクティック解消をもたらすための条件は何か？
• RQ3 この手法は、微分幾何学の枠組み内で、特異な代数的多様体と特異なポアソン構造の両方の解消をどのように統一するか？
• RQ4 スプリンガー解消やクライン特異点の最小解消といった古典的解消は、この群体に基づく構成からどのように得られるか？
• RQ5 $A_l$ 型特異点と類似しているにもかかわらず、$D_l$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ 特異点ではこの手法が失敗するのはなぜか？

主な発見

• $\mathbb{C}^2 / (\mathbb{Z}/l\mathbb{Z})$ の最小解消は、対応するポアソン構造を統合するシンプレクティック群体のシンプレクティック削減によって得られるシンプレクティック解消として生じる。
• 解消 $\phi: \Sigma \to W_l$ は正則的かつシンプレクティックであり、$\Sigma$ は $W_l$ の $l-1$ 個の有理曲線 $C_1, \dots, C_{l-1}$ に沿った吹き上げと微分同相である。各 $C_i$ は $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ に同型である。
• 原点の逆像は $l-1$ 個の有理曲線 $C_1, \dots, C_{l-1}$ からなる。これらは鎖のように横断的に交わる：$C_k \cap C_{k+1} = \{p_k\}$ であり、$|i-j| \geq 2$ のとき $C_i \cap C_j = \emptyset$ である。
• 各 $k = 1, \dots, l-1$ に対して、ラグランジュ的交差の厳密な逆像 $\tilde{L}_k$ は $C_k$ と一点で横断的に交わり、他のすべての $C_i$（$i \neq k$）とは交わらない。
• 解消写像 $\phi$ の微分は、ちょうど $p_1, \dots, p_{l-2}$ の交点で消え、$C_k \setminus \{p_k, p_{k+1}\}$ 上の点では、その核が接空間 $T_y C_k$ に等しい。
• 第 $k$ 個のラグランジュ的交差に対応する開部分多様体 $U_k \subset \Sigma$ は $U_k = \phi^{-1}(\mathcal{S}) \cup \Gamma \cdot \{O_k\}$ で与えられ、あるコベクトルパス $a(t)$ を用いて微分方程式 $\frac{d\sigma}{dt} = (\pi_\Sigma^\#)_{\sigma(t)}(a(t) \circ d_{\sigma(t)}\phi)$ を満たす滑らかなパス $\sigma(t)$ の存在によって特徴づけられる。