[論文レビュー] From Liouville to Chern-Simons, Alternative Realization of Wilson Loop Operators in AGT Duality

Jianfeng Wu, Yang Zhou|ArXiv.org|Nov 10, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 70被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、$S^3$ 上の $SL(2,\mathbb{R})$ チャン・サイモンズ理論における絡み目不変量を用いて、AGT双対性におけるウィルソン環境演算子の代替的実現を提案する。手術とモジュラー $S$ 行列を用いて、明示的なバーニングや融合行列を避けてモノドロミーを計算する。主な結果は、リンク不変量を用いたトポロジカルな方法によるウィルソン演算子期待値の簡略化された計算であり、$\mathcal{N}=4$ SYM におけるt’Hooft環境の既知の結果と一致する。

ABSTRACT

We propose an SL(2,R) Chern-Simons description of Liouville field theory (LFT), whose correlation function duals to partition function of N=2 SU(2) gauge theories. We give the dual expressions for conformal blocks, fusion rules, and Wilson loop operators in Chern-Simons theory. By realizing Wilson loop operator in Liouville as a Hopf link in S^3 on which lives an SL(2,R) Chern-Simons theory, we obtain an alternative description of monodromy of this loop operator in Liouville field theory as the ratio of link invariants. We show how to calculate t'Hooft loops in the simplest example -- the N=4 super Yang-Mills theory. The results we obtained are consistant with those in 0909.0945 and 0909.1105.

研究の動機と目的

• 3次元チャネル・サイモンズ理論を用いて、$\mathcal{N}=2$ ゲージ理論におけるウィルソン環境演算子を計算する新しいトポロジカルな手法を提供すること。
• 手術とモジュラーブートストラップを用いて、リウヴィル理論と $SL(2,\mathbb{R})$ チャン・サイモンズ理論の双対性を確立すること。
• 融合行列とバーニング行列を $S^3$ 上のリンク不変量に置き換えることで、モノドロミー行列の計算を簡略化すること。
• 3次元トポロジカル場理論の記述を用いて、AGT双対性フレームワークに環境演算子を一般化すること。
• M2/M5-brane システムへのチャネル・サイモンズ理論の物理的起源を検討すること。

提案手法

• リーマン面上の荷電粒子の世界線として環境演算子を実現し、時間方向をコンパクト化して $S^3$ 上の絡み目／リンクを形成する。
• 3次元多様体を $S^3$ に貼り合わせるための手術法を適用し、 conformal block の接続操作をトポロジカルな手術操作に対応付ける。
• リウヴィル相関関数の正則的部を、$SL(2,\mathbb{R})$ チャン・サイモンズ理論におけるリンク不変量と特定する。
• アフィン $\widehat{sl}(2)$ 代数のモジュラー $S$ 行列を用いてリンク不変量の比を計算し、複雑なモノドロミー計算を置き換える。
• 退化演算子の融合を、リンクの手術に結びつけ、DOZZ構造定数から得られる正規化係数を導出する。
• Gaiotto と Drukker が得た結果と一致することを確認するため、$\mathcal{N}=4$ SYM における t’Hooft 環境でこの手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ ゲージ理論におけるウィルソン環境演算子は、$S^3$ 上の $SL(2,\mathbb{R})$ チャン・サイモンズ理論によって同等に記述可能か？
• RQ2 アフィン代数のモジュラー $S$ 行列は、リウヴィル側におけるウィルソン環境のモノドロミーをどのように記述するか？
• RQ3 チャネル・サイモンズ双対において、 conformal block の接続と融合則のトポロジカルな解釈は何か？
• RQ4 リウヴィルの3点関数に対する DOZZ 公式は、$SL(2,\mathbb{R})$ チャン・サイモンズ理論の正準量子化から導出可能か？
• RQ5 M-theory において、M2-brane の配置から $SL(2,\mathbb{R})$ チャン・サイモンズ理論の物理的起源が得られるか？

主な発見

• $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ ゲージ理論におけるウィルソン環境期待値は、$SL(2,\mathbb{R})$ チャン・サイモンズ理論における $S^3$ 上のリンク不変量の比として計算される。
• $\mathcal{N}=4$ SYM における t’Hooft 環境は、$\mathcal{Z}(a+b/2) + \mathcal{Z}(a-b/2)$ として再現され、Gaiotto と Drukker の結果と一致する。
• t’Hooft 環境を含む正則的分配函数は、正規化を除いて $\mathcal{Z}(a) = S_{1,1}^{2a}$ と表される。
• 正規化係数 $N = \frac{1}{2\cos(\pi bQ)}$ は、$V_{1,1}$ 演算子のゼロモード寄与から生じる。
• リウヴィル理論における融合則は、$S^3$ 上のリンクの手術操作に対応し、バーニングはリンク図における線の交差に対応する。
• この手法は、モノドロミー行列やバーニング行列の明示的計算を回避し、モジュラー $S$ 行列とリンク不変量に依存するのみである。