[論文レビュー] Toda Theories, Matrix Models, Topological Strings, and N=2 Gauge Systems

Robbert Dijkgraaf, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Sep 13, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 45被引用数 212

ひとこと要約

本稿は、リーマン面の上での $A_{n-1}$ 奇性における位相的弦理論の分配関数が、$A_{n-1}$ Toda conformal field theory のチャーラルブロックによって記述されることを示すことにより、$ \mathcal{N}=2$ $SU(n)$ ゲージ理論におけるAGT対応の弦理論的導出を確立する。大 $N$ 対 dualities と行列模型ホログラフィーを用いて、Seiberg-Witten 曲線がペナーライクな行列模型のスペクトル曲線として実現され、Nekrasov の歪みが Toda 理論における一般背景電荷と $ \beta$-アンサンブルに一致することを特定する。

ABSTRACT

We consider the topological string partition function, including the Nekrasov deformation, for type IIB geometries with an A_{n-1} singularity over a Riemann surface. These models realize the N=2 SU(n) superconformal gauge systems recently studied by Gaiotto and collaborators. Employing large N dualities we show why the partition function of topological strings in these backgrounds is captured by the chiral blocks of A_{n-1} Toda systems and derive the dictionary recently proposed by Alday, Gaiotto and Tachikawa. For the case of genus zero Riemann surfaces, we show how these systems can also be realized by Penner-like matrix models with logarithmic potentials. The Seiberg-Witten curve can be understood as the spectral curve of these matrix models which arises holographically at large N. In this context the Nekrasov deformation maps to the beta-ensemble of generalized matrix models, that in turn maps to the Toda system with general background charge. We also point out the notion of a double holography for this system, when both n and N are large.

研究の動機と目的

• 位相的弦理論と大 $N$ 対 dualities を用いて、$ \mathcal{N}=2$ $SU(n)$ ゲージ理論におけるAGT対応を説明すること。
• $A_{n-1}$-特異幾何における位相的弦理論の分配関数が、$A_{n-1}$ Toda 量子場理論のチャーラルブロックを計算することを示すこと。
• 大 $N$ でのペナーライクな行列模型のスペクトル曲線を通じて、Seiberg-Witten 幾何をホログラフィックに実現すること。
• Nekrasov の歪み $\epsilon_1, \epsilon_2$ を行列模型の $\beta$-アンサンブルパラメータに写像し、Toda 理論における一般背景電荷と関連付けること。
• $n$ と $N$ がともに大きい極限における二重ホログラフィーを調査すること。

提案手法

• 位相的弦理論と brane 上のゲージ理論間の大 $N$ 対 dualities を用いて、閉弦振幅を開放弦不変量と関連付ける。
• 鏡のCalabi-Yau幾何におけるBモデル位相的弦理論を用いて、前位相関数と高 genus 振幅を計算する。
• $\mathcal{N}=2$ ゲージ理論を、リーマン面を包む $N$ 個のM5ブレーンの系に写像し、幾何がSeiberg-Witten 曲線を符号化することを示す。
• 位相的弦理論の分配関数を、genus-zero リーマン面に対して対応する対数ポテンシャルを持つペナーライクな行列模型で実現する。
• 行列模型のスペクトル曲線を大 $N$ 限界で Seiberg-Witten 曲線と特定する。
• Nekrasov の歪み $\epsilon_1, \epsilon_2$ を行列模型の $\beta$-アンサンブルパラメータと、Toda CFT の背景電荷 $Q$ に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的弦理論の分配関数が、$A_{n-1}$ 特異Calabi-Yau 幾何に於いてリーマン面を底面とするとき、$A_{n-1}$ Toda 量子場理論のチャーラルブロックとどのように関係するか？
• RQ2 大 $N$ での行列模型の限界において、Seiberg-Witten 曲線はどのように役立つか？
• RQ3 Nekrasov の歪みは、行列模型の $\beta$-アンサンブル形式からどのように生じるか？
• RQ4 位相的弦理論における幾何的遷移からAGT対応を導出可能か？
• RQ5 $n$（ゲージ群のランク）と $N$（ブレーン数）がともに大きい極限における二重ホログラフィーの性質は何か？

主な発見

• リーマン面を底面とする $A_{n-1}$-特異幾何における位相的弦理論の分配関数は、$A_{n-1}$ Toda CFT のチャーラルブロックに等しい。
• genus-zero リーマン面に対して、分配関数は対数ポテンシャルを持つペナーライクな行列模型によって記述され、そのスペクトル曲線は Seiberg-Witten 曲線に一致する。
• Nekrasov の歪み $\epsilon_1, \epsilon_2$ は、行列模型における $\beta$-アンサンブルパラメータに写像され、それにより Toda 理論における背景電荷 $Q$ に対応する。
• genus-zero の自由エネルギー $\mathcal{F}_0$ はスペクトル曲線によって決定され、高 genus 振幅 $\mathcal{F}_g$ は、Toda ストレスエネルギー張力テンソルが $\phi \to -\phi$ に対して不変でないため、$g_s$ の奇数次正の累乗項を含む。
• 系は二重ホログラフィーを示す：行列模型の大 $N$ 限界によるものと、$A_{n-1}$ 特異性の大 $n$ 限界によるもので、それぞれ $A_\infty$ クイバー行列模型に対応する。
• この関係は、頂点演算子の相関関数へも拡張され、$\langle \prod_i V_m(q_i) \rangle_N$ として表現され、大 $N$ 限界において行列模型で計算可能である。